Isomorfisme musical

Plantilla:Falten referències A matemàtiques, el isomorfisme musical és un isomorfisme entre el fibrat tangent $TM$ i el fibrat cotangent $T^{*}M$ d'una varietat riemanniana, que ve induït per la seva mètrica.

Introducció

Una mètrica g en una varietat riemanniana M és un camp tensorial $g\in {𝒯}_2(M)$ que és simètric, no degenerat i definit positiu. En fixar un dels dos paràmetres com un vector $v_p\in T_{p}M$, s'obté un isomorfisme de espais vectorials:

${\hat{g}}_p:T_{p}M⟶T_p^{*}M$

definit per:

${\hat{g}}_p(v_p)=g(v_p,-)$

és a dir,

$⟨{\hat{g}}_p(v_p),{\omega }_p⟩=g_p(v_p,{\omega }_p)$

Globalment,

$\hat{g}:TM⟶T^{*}M$

és un difeomorfisme.

Motivació per al nom

L'isomorfisme $\hat{g}$ i la seva inversa ${\hat{g}}^{-1}$ s'anomenen isomorfismes musicals perquè pugen i baixen els índexs dels vectors. Per exemple, un vector de TM s'escriu com ${\alpha }^i\frac{\partial }{\partial x^i}$ i un covector com ${\alpha }_{i}d{x}^i$, així que l'índex i puja i baixa en $\alpha$ de la mateixa manera que els símbols sostingut ($\mathrm{♯}$) i bemoll ($\mathrm{♭}$) pugen i baixen un semitò.

Gradient

Els isomorfismes musicals es poden utilitzar per definir el gradient d'una funció diferenciable sobre una varietat riemanniana M com a:

$\mathrm{\nabla }f=\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f={\hat{g}}^{-1}\circ df=(df{)}^{\mathrm{♯}}$

Vegeu també

• Llei de pujar o baixar índexs (tensors)