Gradient (matemàtiques)

En les dues imatges, els valors de la funció es representen en blanc i negre. El negre representa valors más alts i el seu gradient corresponent es representa amb fletxes blaves.

En càlcul vectorial, el gradient $\mathrm{\nabla }f$ d'un camp escalar $f$ és un camp vectorial que indica en cada punt del camp escalar la direcció del màxim increment d'ell mateix. El gradient es representa mitjançant l'operador diferencial nabla $\mathrm{\nabla }$ seguit de la funció.

Definició

Un gradient d'un camp escalar en un punt és el vector definit com l'únic que permet trobar la derivada direccional en qualsevol direcció com a

$\frac{\partial \varphi }{\partial n}=(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{\varphi }\mathrm{)}\mathrm{\cdot }\hat{\mathrm{n}}$

on $\hat{n}$ és un vector unitari i $\partial \varphi /\partial n$ la derivada direccional de $\varphi$ en la direcció de $\hat{n}$ (que informa sobre la raó de variació del camp escalar al desplaçar-nos segons aquesta direcció):

$\frac{\partial \varphi }{\partial n}\equiv \underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{\varphi (\overrightarrow{r}+ϵ\hat{n})-\varphi (\overrightarrow{r})}{ϵ}$

Una forma equivalent de definir el gradient és com l'únic vector que, multiplicat per qualsevol desplaçament infinitesimal, dona el diferencial del camp escalar

$d\varphi =\varphi (\overrightarrow{r}+d\overrightarrow{r})-\varphi \left(\overrightarrow{r}\right)=\mathrm{\nabla }\varphi \cdot d\overrightarrow{r}$

Amb la definició anterior, el gradient està caracteritzat de forma unívoca.

El gradient s'expressa alternativament mitjançant l'ús de l'operador nabla

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi =\mathrm{\nabla }\varphi$

Propietats

El gradient verifica que:

• És ortogonal a les superfícies definides per $\varphi$ = constant.
• Apunta en la direcció en què la derivada direccional és màxima.
• El seu mòdul és igual a la derivada direccional màxima.
• S'anul·la en els punts estacionaris màxims, mínims.
• El camp format pel gradient en cada punt és sempre irrotacional, és a dir, $\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\varphi )\equiv \overrightarrow{0}$

Expressió en diferents sistemes de coordenades

A partir de la definició de gradient, es pot trobar l'expressió en diferents sistemes de coordenades. Així, en coordenades cartesianes, és

$\mathrm{\nabla }\varphi =\left(\begin{array}{c}\frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y},\frac{\partial \varphi }{\partial z}\end{array}\right)$

En un sistema de coordenades ortogonals, el gradient necessita els factors d'escala, mitjançant l'expressió

$\mathrm{\nabla }\varphi =\frac{1}{h_1}\frac{\partial \varphi }{\partial q_1}{\hat{q}}_1+\frac{1}{h_2}\frac{\partial \varphi }{\partial q_2}{\hat{q}}_2+\frac{1}{h_3}\frac{\partial \varphi }{\partial q_3}{\hat{q}}_3$

Per coordenades cilíndriques ($h_{\rho }=h_z=1$, $h_{\phi }=\rho$) resulta

$\mathrm{\nabla }\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial \rho }\hat{\rho }+\frac{1}{\rho }\frac{\partial \varphi }{\partial \phi }\hat{\phi }+\frac{\partial \varphi }{\partial z}\hat{z}$

i finalment per coordenades esfèriques ($h_r=1$, $h_{\theta }=r$, $h_{\phi }=r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta$)

$\mathrm{\nabla }\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial r}\hat{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial \varphi }{\partial \theta }\hat{\theta }+\frac{1}{r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }\frac{\partial \varphi }{\partial \phi }\hat{\phi }$

Exemple

Donada la funció $\varphi =2x+3y^2-\sin (z)$, el seu gradient associat és:

$\mathrm{\nabla }\varphi =\left(\begin{array}{c}\frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y},\frac{\partial \varphi }{\partial z}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2,6y,-\cos (z)\end{array}\right).$

Vegeu també

• Divergència