Derivada direccional

En matemàtiques, la derivada direccional d'una funció derivable de diverses variables al llarg d'un vector V en un punt donat P, intuïtivament, representa la raó instantània de canvi de la funció quan es passa per P resseguint la direcció de V. Això per tant generalitza la noció de derivada parcial, en la qual la direcció és sempre paral·lela a un dels eixos de coordenades.

La derivada direccional és un cas especial de la derivada de Gâteaux.

Definició

La derivada direccional d'una funció escalar $f(\overrightarrow{x})=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ al llarg d'un vector $\overrightarrow{v}=(v_1,\dots ,v_n)$ és la funció definida pel límit

${\mathrm{\nabla }}_{\overrightarrow{v}}f(\overrightarrow{x})=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(\overrightarrow{x}+h\overrightarrow{v})-f(\overrightarrow{x})}{h}.$

De vegades alguns autors escriuen D_v en comptes de ${\mathrm{\nabla }}_v$. Si la funció $f$ és derivable a $\overrightarrow{x}$, llavors la derivada direccional existeix al llarg de qualsevol vector $\overrightarrow{v},$ i es té

${\mathrm{\nabla }}_{\overrightarrow{v}}f(\overrightarrow{x})=\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{x})\cdot \overrightarrow{v}$

On la $\mathrm{\nabla }$ de la dreta denota el gradient i $\cdot$ és el Producte escalar. A qualsevol punt $\overrightarrow{x}$, la derivada direccional de $f$, intuïtivament, representa la raó de canvi de $f$ al llarg de $\overrightarrow{v}$ al punt $\overrightarrow{x}$. Normalment les direccions es prenen normalitzades, és a dir $\overrightarrow{v}$ és un vector unitari, tot i que la definició de més amunt funciona per a vectors qualssevol.

Plantilla:Caixa desplegable

Propietats

Moltes de les propietats de la derivadaordinària, també les té la derivada direccional. Entre elles hi ha, per a qualssevol parell de funcions f i g definides en un entorn de p i derivables a p:

• La regla de la suma: ${\mathrm{\nabla }}_v(f+g)={\mathrm{\nabla }}_{v}f+{\mathrm{\nabla }}_{v}g$
• La regla del producte per una constant: Per a qualsevol constant c, ${\mathrm{\nabla }}_v(cf)=c{\mathrm{\nabla }}_{v}f$
• La regla del producte: ${\mathrm{\nabla }}_v(fg)=g{\mathrm{\nabla }}_{v}f+f{\mathrm{\nabla }}_{v}g$
• La regla de la cadena: Si g és derivable a p i h és derivable a g(p), llavors

${\mathrm{\nabla }}_{v}h\circ g(p)=h^{\prime }(g(p)){\mathrm{\nabla }}_{v}g(p)$

En geometria diferencial

Sia M una varietat diferenciable i p un punt de M. Suposant que f sigui una funció definida en un entorn de p, i que sigui derivable a p. Si v és un vector tangent a M en p, llavors la derivada direccional de f al llarg de v, escrita indiferentment com a ${\mathrm{\nabla }}_{v}f(p)$ (vegeu derivada covariant), $L_{v}f(p)$ (vegeu derivada de Lie), o $v_p(f)$ (vegeu espai tangent), es pot definir tal com segueix. Sia γ : [-1,1] → M una corba derivable amb γ(0) = p i γ^′(0) = v. Llavors la derivada direccional es defineix per

${\mathrm{\nabla }}_{v}f(p)={\frac{d}{d\tau }f\circ \gamma (\tau )|}_{\tau =0}$

Es pot demostrar que aquesta definició és independent de la tria de γ, suposant que γ se selecciona de la forma prescrita, és a dir γ'(0) = v.

Derivada normal

Una derivada normal és una derivada direccional presa en la direcció normal (és a dir ortogonal) a alguna superfície en l'espai, o de forma més general, al llarg d'un camp vectorial ortogonal a alguna hipersuperfície. Vegeu per exemple la condició de frontera de Neumann. Si la direcció normal s'escriu $\overrightarrow{n}$, llavors la derivada direccional d'una funció ƒ s'escriu de vegades $\frac{\partial f}{\partial n}$.

Vegeu també

• Derivada de Lie
• Forma diferencial