Condició de frontera de Neumann

En matemàtiques, la condició de frontera o condició de contorn de Neumann (o de segon tipus) és un tipus de condició de frontera o contorn, anomenat així en al·lusió a Carl Neumann, quan en una equació diferencial ordinària o en derivades parcials, se li s'especifiquen els valors de la derivada d'una solució presa sobre la frontera o contorn del domini.

En el cas d'una equació diferencial ordinària, per exemple, pot ser:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+3y=1$

sobre l'interval [0,1] les condicions de frontera de Neumann prenen la forma:

$\{\begin{array}{c}\frac{dy}{dx}(0)={\alpha }_1\\ \frac{dy}{dx}(1)={\alpha }_2\end{array}$

on ${\alpha }_1$ i ${\alpha }_2$ són nombres donats.

Per a una equació diferencial en derivades parcials sobre un domini $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ tal com:

${\mathrm{\nabla }}^{2}y=0$

on ${\mathrm{\nabla }}^2$ és el laplacià, la condició de frontera de Neumann pren la forma:

$\frac{\partial y}{\partial n}(x)=f(x)\mathrm{\forall }x\in \partial \mathrm{\Omega }.$

Aquí, n és la normal a la frontera $\partial \mathrm{\Omega }$ i $f$ és una funció escalar.

La derivada normal utilitzant la regla de la mà esquerra es defineix com:

$\frac{\partial y}{\partial n}(x)=\mathrm{\nabla }y(x)\cdot 𝐧(x)$

on $\mathrm{\nabla }$ és el gradient (vector) i el punt és el producte intern amb el vector normal unitari n .

Vegeu també

• Condició de frontera de Dirichlet
• Condició de frontera mixta
• Condició de frontera de Cauchy
• Condició de frontera de Robin