Equació hiperbòlica en derivades parcials

Una equació hiperbòlica en derivades parcials és una equació diferencial en derivades parcials de segon ordre del tipus:

$A{u}_{xx}+2B{u}_{xy}+C{u}_{yy}+D{u}_x+E{u}_y+F=0$

en la qual la matriu $Z=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ B& C\end{array}\right]$ té un determinant menor que 0. Un exemple d'una equació diferencial en derivades parcials parcials hiperbòlica és l'equació d'ona.

Exemples

A través d'un canvi de variables lineal, qualsevol equació de la forma:

$A\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+2B\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+C\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\text{(termes derivatius de menor ordre)}=0$

amb

$B^2-AC>0$

es pot transformar en l'equació d'ona, més enllà dels termes d'ordre menor que no són essencials per comprendre l'equació de manera qualitativa. Aquesta definició és anàloga a la de la hipèrbola plana.

L'equació d'ona unidimensional:

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-c^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0$

és un exemple d'una equació hiperbòlica. Les equacions d'ona bidimensional i tridimensional també pertanyen a la categoria de les PDEs hiperbòliques. Aquest tipus d'equacions hiperbòliques en derivades parcials de segon ordre es poden transformar en sistemes hiperbòlics d'equacions diferencials de primer ordre.

Vegeu també

• Equació el·líptica en derivades parcials
• Equació parabòlica en derivades parcials
• Equació diferencial en derivades parcials
• Equació en derivades parcials

Bibliografia

• Plantilla:Citation