Traça (àlgebra lineal)

Traça d'una matriu de 4×4

En àlgebra lineal, la traça d'una matriu quadrada A dPlantilla:'nxn es defineix com la suma dels elements de la diagonal principal dPlantilla:'A, és a dir

$\mathrm{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}$

on a_ij representa l'element que és a la fila i-èsima i a la columna j-èsima dPlantilla:'A.

Propietats

• La traça és un operador lineal:

$\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}\left(A\right)+\mathrm{tr}\left(B\right)$

$\mathrm{tr}\left(rA\right)=r(\mathrm{tr}\left(A\right))$

sent $A$ i $B$ matrius quadrades, i $r$ un escalar.

• Com la diagonal principal no es troba afectada en transposar la matriu:

$\mathrm{tr}\left(A^T\right)=\mathrm{tr}\left(A\right)$

• Si $A$ és una matriu dPlantilla:'$n\times m$ i $B$ una matriu dPlantilla:'$m\times n$, llavors:

$\mathrm{tr}\left(AB\right)=\mathrm{tr}\left(BA\right)$

Per demostrar-ho tenim en compte que el producte de les matrius $A$ i $B$ ve donat per

$[AB{]}_{ij}=\sum _{k=1}^m[A{]}_{ik}[B{]}_{kj}$

amb la qual cosa podem expressar la traça de $AB$ com

$\mathrm{tr}\left(AB\right)=\sum _{i=1}^n[AB{]}_{ii}=\sum _{i=1}^n\sum _{k=1}^m[A{]}_{ik}[B{]}_{ki}$

i tenint en compte la propietat associativa del sumatori

$\mathrm{tr}\left(AB\right)=\sum _{k=1}^m\sum _{i=1}^n[A{]}_{ik}[B{]}_{ki}=\sum _{k=1}^m\sum _{i=1}^n[B{]}_{ki}[A{]}_{ik}=\sum _{k=1}^m[AB{]}_{kk}=\mathrm{tr}\left(BA\right)$

Cal notar que $AB$ és una matriu quadrada dPlantilla:'$n\times n$, mentre que $BA$ és una matriu quadrada dPlantilla:'$m\times m$

• Si $A$ és una matriu quadrada d'ordre $n$ amb $n$ valors propis reals o complexos (incloent multiplicitat): ${\lambda }_1...,{\lambda }_n$ llavors:

$\mathrm{tr}\left(A\right)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$

Això pot veure's fàcilment tenint en compte la corresponent forma canònica de Jordan de l'aplicació lineal associada a la matriu. Com que la traça d'una matriu i de la forma de Jordan associada són iguals en ser la traça un invariant algebraic, la traça de la matriu és la suma dels elements de la diagonal de la forma de Jordan, és a dir, la suma d'autovalors.

• Plantilla:Viccionari-lateralLa traça d'una matriu quadrada $A$està relacionada amb la derivada del seu determinant (vegeu la fórmula de Jacobi).