Fórmula de Jacobi

En càlcul matricial, la fórmula de Jacobi expressa la derivada del determinant d'una matriu (quadrada) A en funció de la seva matriu adjunta i de la seva derivadaː

$\frac{d}{dt}\det A(t)=\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A(t))\frac{dA(t)}{dt})$,

on Plantilla:Math és la traça de la matriu X.

Com a cas especial,

$\frac{\partial \det (A)}{\partial A_{ij}}={\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ij}.$

De forma equivalent, si Plantilla:Mvar representa el diferencial d'A, la fórmula general és

$d\det (A)=\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A)dA).$

La següent relació útil connecta la traça amb el determinant de l'exponencial de la matriu associada:

$\det e^{tB}=e^{\mathrm{tr}\left(tB\right)}$

La fórmula rep el seu nom del matemàtic Carl Gustav Jacob Jacobi.

Aplicacions

Diverses formes de la fórmula són subjacents a l'algoritme Faddeev–LeVerrier per a calcular el polinomi característic, i té aplicacions explícites en el teorema de Cayley–Hamilton. Per exemple, a partir de l'equació següent:

$\frac{d}{dt}\det A(t)=\det A(t)\mathrm{tr}(A(t{)}^{-1}\frac{d}{dt}A(t))$,

i utilitzant $A(t)=tI-B$, obtenim:

$\frac{d}{dt}\det (tI-B)=\det (tI-B)\mathrm{tr}[(tI-B{)}^{-1}]=\mathrm{tr}[\mathrm{adj}(tI-B)]$,

on adj denota el matriu adjunta.