Segment circular

Plantilla:Millorar referències Un segment circular o segment d'un cercle és en geometria la porció d'un cercle limitada per una corda i l'arc corresponent.

Fórmules

Un segment circular (en verd) està comprès entre una recta secant o corda (la línia discontínua) i l'arc els punts extrems són els de la corda.

Sigui R el radi del cercle, θ l'angle central, c la longitud de la corda, s la longitud de l'arc, h l'alçada del segment circular, i d l'altura de la porció triangular.

• El radi és $R=h+d\frac{}{}$
• La longitud de l'arc és $s=R\cdot \theta$ on $\theta$ està en radians.
• La longitud de la corda és $c=2R\sin \frac{\theta }{2}=R\sqrt{2-2\cos \theta }$
• L'altura és $h=R(1-\cos \frac{\theta }{2})$
• L'angle és $\theta =2\arccos \frac{d}{R}$

Àrea

L'àrea del segment circular és igual a l'àrea del sector circular menys l'àrea de la porció triangular.

$A=\pi R^2\cdot \frac{\theta }{2\pi }-\frac{R^2\sin \theta }{2}=\frac{R^2}{2}(\theta -\sin \theta )$

Demostració alternativa

L'àrea del sector circular és: $A=\pi R^2\cdot \frac{\theta }{2\pi }=\frac{R^2\cdot \theta }{2}$

Si es bisecciona l'angle $\theta$ i, per tant, la porció triangular, s'obtenen dos triangles amb àrea total:

$R\sin \frac{\theta }{2}\cdot R\cos \frac{\theta }{2}=R^2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$

Atès que l'àrea del segment és l'àrea del sector menys l'àrea de la porció triangular, s'obtenen

$A=R^2(\frac{\theta }{2}-\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2})$

D'acord amb la identitat trigonomètrica d'angle doble $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$, per tant:

$\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}=\frac{1}{2}\sin \theta$

amb el que resulta que l'àrea és: $A=R^2(\frac{\theta }{2}-\frac{1}{2}\sin \theta )=\frac{R^2}{2}(\theta -\sin \theta )$

Vegeu també

• Cònica
• Secció (matemàtica)
• Casquet esfèric, anàleg tridimensional

Enllaços externs

• Plantilla:MathWorld
• Definició d'un segment circular amb animació interactiva (en anglès)
• Fórmula per l'àrea d'un segment circular amb animació interactiva (en anglès)