Desigualtat de Bessel

En matemàtiques, especialment en anàlisi funcional, la desigualtat de Bessel és una proposició sobre els coeficients d'un element $x$ en un espai de Hilbert respecte a una successió ortonormal.

Sigui $H$ un espai de Hilbert, i suposi's que $e_1,e_2,...$ és una seqüència ortonormal en $H$. Llavors, per a tot $x$ de $H$ es compleix que

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|⟨x,e_k⟩\right|}^2\le {\Vert x\Vert }^2$

on <·, ·> denota el producte interior en l'espai de Hilbert $H$. Si es defineix la suma infinita

$X^{\prime }=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}⟨x,e_k⟩e_k,$

la desigualtat de Bessel ens diu que aquesta sèrie matemàtica convergeix.

Per a una successió ortonormal completa (és a dir, per una successió ortonormal que alhora és una base ortonormal de $H$), hom té la identitat de Parseval, que reemplaça la desigualtat per una igualtat (i conseqüentment $x^{\prime }$ amb $x$).

En àlgebra lineal la desigualtat de Bessel estipula que donat un espai vectorial V amb producte interior definit, donada $\beta =\{{\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_n\}$ un subconjunt ortonormal de V, es compleix que per a tot x de V:

$\Vert x{\Vert }^2\ge \sum _{i=1}^n\Vert ⟨x,{\beta }_i⟩{\Vert }^2$.