Identitat de Parseval

En anàlisi matemàtica, la identitat de Parseval és un resultat fonamental sobre la suma de certes sèries obtingudes a partir de la sèrie de Fourier d'una funció. Geomètricament, es pot interpretar com una generalització del teorema de Pitàgores per a espais prehilbertians, és a dir, espais dotats d'un producte escalar, i possiblement de dimensió infinita.

Expressat de manera informal, la identitat estableix que la suma dels quadrats dels coeficients de Fourier d'una funció és igual a la integral de la funció al quadrat:

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|c_n{|}^2=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}|f(x){|}^{2}dx,$

on els coeficients de Fourier c_n de ƒ venen donats per

$c_n=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x){\mathrm{e}}^{-inx}dx.$

Aquesta igualtat es compleix suposant que ƒ és una funció de quadrat integrable, o, expressat de manera més precisa, que f és de L²(−π,π). Un resultat similar és el teorema de Plancherel, que afirma que la integral del quadrat de la transformada de Fourier d'una funció és igual a la integral del quadrat de la funció mateixa. En una dimensió, per Plantilla:Nowrap,

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x){|}^{2}dx.$

La identitat es relaciona amb el teorema de Pitàgores en l'escenari més general d'un espai de Hilbert separable de la següent manera. Suposeu que H és un Espai de Hilbert amb el producte escalar 〈•,•〉. Sia (e _n ) una base ortonormal de H; és a dir, l'extensió lineal de e _n és densa en H, i els e_n són mútuament orthonormals:

$⟨e_m,e_n⟩=\{\begin{array}{cc}1& \text{si}m=n\\ 0& \text{si}m=n.\end{array}$

Llavors la identitat de Parseval afirma que per a cada x  ∈ H,

$\sum _n|⟨x,e_n⟩{|}^2=\Vert x{\Vert }^2.$

Això és directament anàleg al teorema de Pitàgores, que afirma que la suma dels quadrats dels components d'un vector en una base ortonormal és igual a la longitud al quadrat del vector. Es pot recobrar la versió de sèrie de Fourier de la identitat de Parseval deixant que H sigui l'espai de Hilbert L²[−π,π;], i establint e_n = e^−inx per Plantilla:Nowrap

De forma més general, la identitat de Parseval es compleix en qualsevol espai amb producte interior, no només en espais de Hilbert separables. Així suposant que H és un espai amb producte interior. Sia B una base ortonormal de H; és a dir, un conjunt ortonormal que és total en el sentit que l'extenssió lineal de B és dens en H. Llavors

$\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩=\sum _{v\in B}{|⟨x,v⟩|}^2.$

L'exigència que B és total és necessària per a la validesa de la identitat. Si B no és total, llavors la igualtat en la identitat de Parseval s'ha de reemplaçar Plantilla:Nowrap així dona la desigualtat de Bessel. Aquesta forma general de la identitat de Parseval es pot demostrar utilitzant el teorema de Riesz–Fischer.

Vegeu també

• Teorema de Parseval

Referències

• Plantilla:Ref-llibre.
• Plantilla:Citar ref.
• Plantilla:Citar ref.