Representació decimal

Aquest article proporcional una definició matemàtica. Per a un article més accessible, vegeu Nombre decimal.

Una representació decimal d'un nombre real no negatiu r és una expressió en forma d'una sèrie, que tradicionalment s'escriu com la suma

$r=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_i}{10^i}$

on a₀ és un enter no negatiu, i a₁, a₂, … són enters que satisfan 0 ≤ a_i ≤ 9, que hom anomena els dígits de la representació decimal. La successió de dígits pot ser finita, i en aquest cas els dígits posteriors a_i són 0. Alguns autors estan en contra de les representacions decimals amb una seqüència infinita de 9. Tot i aquesta restricció, encara existeix una representació decimal per a cada real no negatiu, i addicionalment fa que aquesta representació sigui única. El nombre que es defineix per una representació decimal s'acostuma a escriure:

$r=a_0,a_1{a}_2{a}_3\dots$

És a dir, a₀ és la part entera de r, no necessàriament entre 0 i 9, i a₁, a₂, a₃, … són els dígits que configuren la part fraccionària de r.

Totes dues notacions són, per definició, el següent límit:

$r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=0}^n\frac{a_i}{10^i}$.

Aproximacions decimals finites

Tot nombre real es pot aproximar, amb un grau arbitrari de precisió, per nombres racionals amb representacions decimals finites.

Suposem que $x\ge 0$. Llavors, per qualsevol enter $n\ge 1$ existeix un decimal finit $r_n=a_0.a_1{a}_2\dots a_n$ tal que:

$r_n\le x<r_n+\frac{1}{10^n}.$

La representació decimal no és única

Plantilla:Article principal Alguns nombres reals tenen dues representacions decimals infinites. Per exemple, el nombre 1 es pot representar tant 1,000... com 0,999... (aquí, hem representat les seqüències infinites de 0 i de 9 per "...").

Representacións amb nombre finit de decimals

L'expansió decimal d'un nombre real no negatiu x finalitza smb zeros (o amb nous) si i només si x és un nombre racional amb denominador de la forma 2ⁿ5^m, on m i n són enters no negatius.

Representacions decimals periòdiques

Plantilla:Article principal Alguns nombres reals tenen representacions decimals on alguns (un o més) dígits es repeteixen:

¹/₃ = 0.33333...

¹/₇ = 0.142857142857...

¹³¹⁸/₁₈₅ = 7.1243243243...

Quan succeeix això, el nombre és un racional, és a dir, es pot representar pel quocient entre un enter i un enter positiu.

Curiositats

• El nombre real representat per 0,1234567891011121314151617... té una representació decimal previsible i no periòdica. Aquest real és la constant de Champernowne, anomenada així pel matemàtic anglès que la va inventar el 1933. Aquest nombre és irracional, transcendent (demostrat per Kurt Mahler el 1961) i normal en base 10.
• La constant de Copeland-Erdős 0,2357111317192329313741..., formada per la successió dels nombres primers, també és normal en base 10.
• El nombre real representat per 0,110001000000000000000001..., és a dir, al suma de les potències factorials negatives de 10 (10⁻¹ + 10⁻² + 10⁻⁶ + ...+ 10 ^-k! + ...) té un desenvolupament decimal previsible i no periòdic. Aquest nombre és la constant de Liouville, que és irracional i transcendent.
• Si hom escull a l'atzar, segons la distribució uniforme contínua, un nombre real entre 0 i 1, els dígits del seu desenvolupament decimal formen una seqüència de variables aleatòries independents sobre Plantilla:Nowrap. Aquest fet és la clau per la demostració del teorema del nombre normal de Borel. Arran d'aquesta demostració, Borel descobrí l'anomenat lema de Borel-Cantelli i demostrà la primera versió conegura de la llei forta dels grans nombres.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• Nombre decimal
• Sèrie (matemàtiques)
• IEEE 754
• Simon Stevin

Enllaços externs

• Plouffe's inverter Plantilla:Webarchive intenta verificar un nombre a partir de la seva representació decimal. Per exemple, si s'hi introdueix 3,14159265 informarà que probablement prové del nombre π.