Funció beta de Dirichlet

En matemàtiques, la funció beta de Dirichlet (també coneguda com a funció beta de Catalan) és una funció especial, íntimament relacionada amb la funció zeta de Riemann. En particular, és una sèrie L de Dirichlet, concretament la funció L per al caràcter alternat de període quatre. Rep aquest nom en honor del matemàtic alemany Johann Dirichlet.

Definició

La funció beta de Dirichlet ve definida per:

β (s) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)^{s}},

o, equivalentment:

β (s) = \frac{1}{Γ (s)} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s - 1} e^{- x}}{1 + e^{- 2 x}} d x .

En ambdós casos, les fórmules només són vàlides per Re(s)>0.

Altrament, la següent definció, en termes de la funció zeta de Hurwitz, és vàlida per a tot el pla complex:

β (s) = 4^{- s} (ζ (s, \frac{1}{4}) - ζ (s, \frac{3}{4})) .

Una altra definició equivalent, en termes de la funció zeta de Lerch i vàlida també en tot el pla complex, és:

β (s) = 2^{- s} Φ (- 1, s, \frac{1}{2}),

L'equació funcional prolonga analíticament la funció beta a la part del pla complex Re(s)<0 ve donada per:

β (s) = {(\frac{π}{2})}^{s - 1} Γ (1 - s) \cos \frac{π s}{2} β (1 - s)

on $Γ (s)$ és la funció gamma.

Alguns valors particulars de la funció beta són els següents:

β (0) = \frac{1}{2},

β (1) = \arctan (1) = \frac{π}{4},

β (2) = G,

on $G$ representa la constant de Catalan

β (3) = \frac{π^{3}}{32},

β (4) = \frac{1}{768} (ψ_{3} (\frac{1}{4}) - 8 π^{4}),

on $ψ_{3} (1 / 4)$ és un exemple de funció poligamma.

β (5) = \frac{5 π^{5}}{1536},

β (7) = \frac{61 π^{7}}{184320},

En general, per nombre natural $k$

β (2 k + 1) = \frac{(- 1)^{k} E_{2 k} π^{2 k + 1}}{4^{k + 1} (2 k!)},

on $E_{n}$ representa els nombres d'Euler. Per a $k$ ≥0, és té que:

β (- k) = \frac{E_{k}}{2} .

Atès que $E_{2 k + 1} = 0$ , la funció s'anul·la per tot valor enter negatiu senar.

Plantilla:Cite journal
J. Spanier and K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.
Plantilla:MathWorld