Espiral de Cotes

En física i en matemàtiques de corbes planes, l'espiral de Cotes és una espiral que habitualment s'escriu en una de les tres formes següents:

$\frac{1}{r}=A\cos (k\theta +\epsilon )$

$\frac{1}{r}=A\cosh (k\theta +\epsilon )$

$\frac{1}{r}=A\theta +\epsilon$

on r i θ són el radi i l'angle azimutal d'un sistema de coordenades polars, respectivament, i A, k i ε són nombres reals arbitraris constants. Aquestes espirals s'anomenen així en honor de Roger Cotes. La primera forma correspon a un epispiral, i la segona a una espiral de Poinsot; la tercera forma correspon a una espiral hiperbòlica, també coneguda com a espiral recíproca, la qual de vegades no es considera com a espiral de Cotes.

La importància de les espirals de Cotes per a la física és en el camp de la mecànica clàssica. Aquestes espirals són les solucions del moviment d'una partícula que es mou sota l'efecte d'una força central de magnitud proporcional a la inversa del cub de la distància, p. ex.,

$F(r)=\frac{\mu }{r^3}$

On μ és qualsevol nombre real constant. Una força central és una que depén només de la distància r entre la partícula que es mou i un punt fix a l'espai, el centre. En aquest cas, la constant k de l'espiral pot ser determinada a partir de μ i de l'àrea h escombrada per unitat de temps pel vector posición de la partícula segons la fórmula

$k^2=1-\frac{\mu }{h^2}$

Quan μ < h ² (forma cosinus de l'spiral) i

$k^2=\frac{\mu }{h^2}-1$

Quan μ > h ² (forma cosinus hiperbòlic de l'espiral). Quan μ = h ² exactament, la partícula segueix la tercera forma de l'espiral

$\frac{1}{r}=A\theta +\epsilon .$

Vegeu també

• Espiral d'Arquimedes
• Espiral hiperbòlica

Bibliografia

• Plantilla:Cite book

• Roger Cotes (1722) Harmonia Mensuarum, pp. 31, 98.

• Isaac Newton (1687) Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Book I, §2, Proposition 9.

• Plantilla:Cite book

• Plantilla:Cite book

Enllaços externs

• Plantilla:Mathworld