Funció de Lommel

Funció de Lommel S1

Funció de Lommel S2

Les funcions de Lommel són funcions especials que són les solucions de lPlantilla:'equació diferencial de Lommel, que és una forma no homogénea de l'equació diferencial de Bessel:

$z^2\frac{d^{2}y}{d{z}^2}+z\frac{dy}{dz}+(z^2-{\nu }^2)y=z^{\mu +1}.$

Les solucions d'aquesta equació poden representar-se com combinacions lineals de les anomenades funcions de Lommel, de les que hi ha dos tipus (les funcions s_μ,ν(z) i les funcions S_μ,ν(z)), introduïdes per Eugen von Lommel (1880) :

$s_{\mu ,\nu }(z)=\frac{\pi }{2}[Y_{\nu }(z)\underset{0}{\overset{z}{\int }}{x}^{\mu }{J}_{\nu }(x)dx-J_{\nu }(z)\underset{0}{\overset{z}{\int }}{x}^{\mu }{Y}_{\nu }(x)dx],$

$S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)+2^{\mu -1}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\mu +\nu +1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\mu -\nu +1}{2}\right)(\sin [(\mu -\nu )\frac{\pi }{2}]J_{\nu }(z)-\cos [(\mu -\nu )\frac{\pi }{2}]Y_{\nu }(z)).$

on J_ν(z) és una funció de Bessel del primer tipus i Y_ν(z) una funció Bessel del segon tipus.

Funcions de Lommel dependents d'una sola variable

Les funcions de Lommel dependents d'una sola variable $s_{\mu ,\nu }(z)$ i $S_{\mu ,\nu }(z)$satisfant l'equació diferencial lineal anomenada «equació de Lommel»:

$z^2\frac{dy}{d{z}^2}+z\frac{dy}{dz}+(z^2-{\nu }^2)y=z^{\mu +1}$

La funció $s_{\mu ,\nu }(z)$ és la solució, que es pot desenvolupar com una sèrie de potències:

$s_{\mu ,\nu }(z)=z^{\mu -1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(z/2{)}^{2n+2}\mathrm{\Gamma }((\mu -\nu +1)/2)\mathrm{\Gamma }((\mu +\nu +1)/2)}{\mathrm{\Gamma }((\mu -\nu +3)/2+n)\mathrm{\Gamma }((\mu +\nu +3)/2+n)}$

Les solucions de l'equació diferencial lineal són $s_{\mu ,\nu }(z)+A{J}_{\nu }(z)+B{J}_{-\nu }(z)$, on $J_{\pm \nu }$ és la funció de Bessel.

La funció $S_{\mu ,\nu }(z)$ és definida com:

$S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)+\frac{2^{\mu -1}\mathrm{\Gamma }((\mu -\nu +1)/2)\mathrm{\Gamma }((\mu +\nu +1)/2)}{\sin \pi \nu }[\cos (\pi (\mu -\nu )/2)J_{-\nu }(z)-\cos (\pi (\mu +\nu )/2)J_{\nu }(z)]$.

Les funcions d'Anger, les funcions de Weber i les funcions de Struve són casos especials de funcions de Lommel.

Funcions de Lommel dependents de dues variables

Les funcions $U_n(w,z)$ i $V_n(w,z)$ es defineixen com a sèries de Neumann, és a dir, com a desenvolupament basat en les funcions de Bessel:

$U_{\nu }(w,z)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m{\left(\frac{w}{z}\right)}^{\nu +2m}{J}_{\nu +2m}(z)$

$V_{\nu }(w,z)=\cos (\frac{w}{2}+\frac{z}{2w}+\frac{\nu \pi }{2})+U_{2-\nu }(w,z)$

Aquestes funcions són importants en la teoria de la difracció.

Referències

• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Paris, R. B. (2010), "Lommel function", en Olver Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, Plantilla:ISBN, MR 2723248
• Plantilla:Springer

Bibliografia

• E. Lommel Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function Math. Ann. 9, 425 (1876) Plantilla:De
• G. N. Watson A treatise on the theory of the Bessel functions (Cambridge University Press, 1922) pp. 345-352 Plantilla:De
• E. Lommel Abh. der Math. Phys. classe der k. b. Akad. der Wiss. (Munchen) 15 P. 229 (1886) Plantilla:De
• E. Lommel Abh. der Math. Phys. classe der k. b. Akad. der Wiss. (Munchen) 15 P. 529 (1886) Plantilla:De
• J. Walker The analytical theory of light (Cambridge University Press, 1904) Plantilla:En
• G. N. Watson A treatise on the theory of the Bessel functions (Cambridge University Press, 1922) pp. 537-550 Plantilla:En
• A. Gray e G. B. Mathews A treatise on Bessel functions and their applications to physics pp. 165-209 (London: Macmillan and co., 1895) Plantilla:En

Vegeu també

• Funció d'Anger
• Polinomi de Lommel
• Funció de Struve
• Funció de Weber

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W. "Lommel Differential Equation." de MathWorld—A Wolfram Web Resource Plantilla:En.
• Weisstein, Eric W. "Lommel Function." de MathWorld—A Wolfram Web Resource Plantilla:En.