Funció de Struve

Gràfica de ${\mathrm{H}}_n(x)$ per a $n\in [0,1,2,3,4,5]$

En matemàtiques, les funcions de Struve, denotat com Plantilla:Math, són solucions Plantilla:Math de l'equació diferencial no homogènia de Bessel:

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-{\alpha }^2)y=\frac{4{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha +1}}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{2})}$

presentat per Hermann Struve (1882). El nombre complex α és l'ordre de la funció Struve i és sovint un enter. Les funcions de Struve modificades, denotades com Plantilla:Math, són iguals a Plantilla:Math.

Definició

Atès que es tracta d'una equació no homogènia, les solucions es poden construir a partir d'una única solució particular afegint les solucions del problema homogeni. En aquest cas, les solucions homogènies són les funcions de Bessel, i la solució particular es pot triar com la funció Struve corresponent.

Desenvolupament en sèries de potències

Les funcions de Struve, denotades com Plantilla:Math, tenen la forma en sèrie de potències

${𝐇}_{\alpha }(z)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{\mathrm{\Gamma }(m+\frac{3}{2})\mathrm{\Gamma }(m+\alpha +\frac{3}{2})}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2m+\alpha +1},$

on Plantilla:Math és la funció gamma.

Les funcions de Struve modificades, denotades com Plantilla:Math, tenen la següent forma en de sèrie de potències

${𝐋}_{\nu }(z)={\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu +1}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{2}+k)\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{2}+k+\nu )}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k}.$

Forma integral

Una altra definició de la funció Struve, per als valors de Plantilla:Mvar satisfent Plantilla:Math, és possible utilitzant una representació integral:

${𝐇}_{\alpha }(x)=\frac{2{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{2})}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin (x\cos \tau ){\sin }^{2\alpha }(\tau )d\tau .$

Altres formes

Per a Plantilla:Mvar petit, el desenvolupament en sèries de potències es dona en l'apartat anterior.

Per a Plantilla:Mvar grans, s'obté:

${𝐇}_{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)=\frac{{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha -1}}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{2})}+O\left({\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha -3}\right),$

on Plantilla:Math és la funció de Neumann.

Propietats

Les funcions de Struve satisfan les següents relacions de recurrència:

$\begin{array}{cc}{𝐇}_{\alpha -1}(x)+{𝐇}_{\alpha +1}(x)& =\frac{2\alpha }{x}{𝐇}_{\alpha }(x)+\frac{{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{3}{2})},\\ {𝐇}_{\alpha -1}(x)-{𝐇}_{\alpha +1}(x)& =2\frac{d}{dx}({𝐇}_{\alpha }(x))-\frac{{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{3}{2})}.\end{array}$

Relació amb altres funcions

Les funcions de Struve de l'ordre enter es poden expressar en funció de les funcions de Weber Plantilla:Math i viceversa; si Plantilla:Mvar és un enter no-negatiu llavors

$\begin{array}{cc}{𝐄}_n(z)& =\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor }\frac{\mathrm{\Gamma }(k+\frac{1}{2}){\left(\frac{z}{2}\right)}^{n-2k-1}}{\mathrm{\Gamma }(n-k+\frac{1}{2})}-{𝐇}_n(z),\\ {𝐄}_{-n}(z)& =\frac{(-1{)}^{n+1}}{\pi }\sum _{k=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor }\frac{\mathrm{\Gamma }(n-k-\frac{1}{2}){\left(\frac{z}{2}\right)}^{-n+2k+1}}{\mathrm{\Gamma }(k+\frac{3}{2})}-{𝐇}_{-n}(z).\end{array}$

Funcions de Struve d'ordre Plantilla:Math, on Plantilla:Mvar és un enter, es pot expressar en termes de funcions elementals. En particular, si Plantilla:Mvar és un enter no-negatiu, llavors

${𝐇}_{-n-\frac{1}{2}}(z)=(-1{)}^n{J}_{n+\frac{1}{2}}(z),$

on el costat dret és una funció esfèrica de Bessel.

Les funcions de Struve (de qualsevol ordre) es poden expressar en termes de la funció hipergeomètrica generalitzada Plantilla:Math (que no és la funció hipergeomètrica de Gauss Plantilla:Math):

${𝐇}_{\alpha }(z)=\frac{z^{\alpha +1}}{2^{\alpha }\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{3}{2})}{}_1{F}_2(1,\frac{3}{2},\alpha +\frac{3}{2},-\frac{z^2}{4}).$

Referències

• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [juny 1964]. Chapter 12. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (desembre 1972); 1a ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 496. Plantilla:ISBN. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Ivanov, A. B. (2001) [1994], S/s090700, en Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, Plantilla:ISBN
• Paris, R. B. (2010), Struve function, en Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, Plantilla:ISBN, MR 2723248
• Plantilla:Ref-publicació

Vegeu també

• Funció d'Anger
• Funció de Lommel

Enllaços externs

• Struve functions a the Wolfram functions site Plantilla:En.