Constant de Feller-Tornier

En matemàtiques, la constant de Feller-Tornier C_FT és la densitat del conjunt de tots els nombres enters que tenen un nombre parell de factors primers (comptats per multiplicitats). Porta el nom de William Feller (1906–1970) i Erhard Tornier (1894–1982).

$\begin{array}{cc}{C}_{\text{FT}}& =\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{2}{p_n^2})\right)\\ & =\frac{1}{2}(1+\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{2}{p_n^2}))\\ & =\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\zeta (2)}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{p_n^2-1}))\\ & =\frac{1}{2}+\frac{3}{{\pi }^2}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{p_n^2-1})=0.661317\dots \end{array}$

La funció omega

La funció omega ve donada per

$\mathrm{\Omega }(x)=\text{el nombre de factors primers de }x\text{ comptat per multiplicitats}$

El claudàtor d'Iverson és

$[P]=\{\begin{array}{cc}1& \text{si }P\text{ és cert,}\\ 0& \text{si }P\text{ és fals.}\end{array}$

Amb aquestes notacions, ens queda

$C_{\text{FT}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sum _{k=1}^n[\mathrm{\Omega }(k)mod2=0]}{n}=\frac{1}{2}$

La funció zeta prima

La funció zeta prima P és donada per

$P(s)=\sum _{p\text{ is prime}}\frac{1}{p^s}.$

La constant de Feller-Tornier satisfà

$C_{\text{FT}}=\frac{1}{2}(1+\exp (-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{n}P(2n)}{n})).$

Vegeu també

• Funció L
• Funció zeta de Riemann
• Nombres primers bessons
• Producte d'Euler