Topologia cofinita

En matemàtiques, la topologia dels complementaris finits o topologia cofinita sobre un conjunt $X$ és la topologia definida per

𝒯_{c o f} = {A \subseteq X : X ∖ A és finit ó A = \emptyset}

És a dir, un subconjunt $A$ de $X$ és obert si el seu complementari és un conjunt finit.

Propietats

Algunes propietats de la topologia cofinita sobre un conjunt $X$ :^[1]

Si $X$ és finit, la topologia cofinita és la topologia discreta. En aquest cas, un subconjunt $A \subseteq X$ és obert si, i només si, és tancat.
La topologia cofinita sobre $X = ℝ$ és menys fina que la topologia estàndard.
Un subconjunt $A \subseteq X$ és tancat si, i només si, $A = X$ , $A = \emptyset$ ó $A$ és finit.
Si $x \in U \subseteq X$ , llavors $U$ és un entorn de $x$ si, i només si, $X ∖ U$ és finit.
Tot espai $X$ amb la topologia cofinita és T₁ i, per tant, T₀.
Si $X$ és infinit, llavors no és de Hausdorff. Com a conseqüència, tampoc és T₃.
Tot espai $X$ amb la topologia cofinita és compacte i, per tant, també és de Lindelöf.