Funció ksi de Riemann

Funció ksi de Riemann $\xi (s)$ en el pla complex. El color d'un punt $s$ mostra el valor de la funció. Els colors més foscos denoten els valors més propers a zero i la tonalitat indica el valor de l'argument.

En matemàtiques, la funció ksi de Riemann és una variant de la funció zeta de Riemann, i té la particularitat de tenir una equació funcional simple. La funció duu el nom del matemàtic alemany Bernhard Riemann.

Definició

La funció ksi minúscula de Riemann original $\xi$ va ser reanomenada com a majúscula $\mathrm{\Xi }$ (la Lletra grega "Ksi") per Edmund Landau. La ksi mínuscula de Landau $\xi$ ("xi" en anglès) va ser definida per Landau com:

$\xi (s)=\frac{1}{2}s(s-1){\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}s\right)\zeta (s)$

per $s\in ℂ$. Aquí, $\zeta (s)$ denotea la funció zeta de Riemann i $\mathrm{\Gamma }(s)$ és la funció Gamma. L'equació funcional (o fórmula de reflexió) de la $\xi$ de Landau és:

$\xi (1-s)=\xi (s).$

La funció original de Riemann és redefinida per Landau com a $\mathrm{\Xi }$ majúscula:Plantilla:Rp

$\mathrm{\Xi }(z)=\xi (\frac{1}{2}+zi)$

i obeeix l'equació funcional:

$\mathrm{\Xi }(-z)=\mathrm{\Xi }(z).$

Landau afirmaPlantilla:Rp que la funció $\mathrm{\Xi }$ de més amunt és la funció de Riemann originalment anotada com $\xi$. Totes dues funcions són enteres i purament reals per tot argument.

Valors

La fórmula general per a enters positius parells és:

$\xi (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{n!}{(2n)!}{B}_{2n}{2}^{2n-1}{\pi }^n(2n-1)$

on B_n denota l'n-èssim nombre de Bernoulli. Per exemple:

$\xi (2)=\frac{\pi }{6}$

Representació en forma de sèrie

La funció $\xi$ té l'expansió en sèrie:

$\frac{d}{dz}\ln \xi \left(\frac{-z}{1-z}\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_{n+1}{z}^n,$

on

${\lambda }_n=\frac{1}{(n-1)!}{\frac{d^n}{d{s}^n}[s^{n-1}\log \xi (s)]|}_{s=1}=\sum _{\rho }[1-{(1-\frac{1}{\rho })}^n],$

i on la suma s'estén al llarg de ρ, els zeros no trivials de la funció zeta, en ordre de $|\mathrm{\Im }(\rho )|$.

Aquesta expansió té un paper especialment important en el criteri de Li, que afirma que la hipòtesi de Riemann és equivalent a tenir λ_n > 0 per tot n positiu.

Producte de Hadamard

Una expansió simple de la funció ksi de Riemann com a producte infinit és:

$\xi (s)=\frac{1}{2}\prod _{\rho }(1-\frac{s}{\rho }),$

on ρ s'esté al llarg de les arrels de ξ.

Per assegurar convergència en l'expansió, el producte ha de ser fet al llarg d'"emparellaments" dels zeros, és a dir, els factor d'una parella de zeros de la forma ρ i 1−ρ s'han d'agrupar conjuntament.

Hipótesi de Riemann

Plantilla:Article principal Com s'ha assenyalat en diversos treballs d'Alain Connes entre d'altres, la hipòtesi de Riemann és equivalent a l'afirmació que la funció xi de Riemann és el determinant funcional de l'operador:

$-D^2+f(x)$

amb:

$f^{-1}(x)=\sqrt{(}4\pi )\frac{d^{1/2}N(x)}{d{x}^{1/2}}$ així,

$\frac{\xi (1/2+iz)}{\xi (1/2)}=\frac{\det (H-z^2)}{\det (H)}$,

la conjectura del qual està recolzada mitjançant diverses avaluacions numèriques.

Bibliografia

• Plantilla:Mathworld
• Plantilla:Ref-publicació