Pentació

Els primers tres valors de l'expressió x[5]2. El valor de 3[5]2 és al voltant de 7.626 × 10¹²; els resultats per a valors de x més grans són massa grans per aparèixer a la gràfica.

En matemàtiques, la pentació és la hiperoperació que li segueix a la tetració i és anterior a la hexació. Es defineix com la iteració (repetició) de tetracions, tal com la tetració és la iteració de la potenciació. És una operació binària definida amb dos nombres a i b, on a és «tetrada» a si mateix b vegades. Per exemple, usant la notació d'hiperoperació per a la pentació i tetració, $2[5]3$ vol dir «tetrar» 2 a si mateix 3 vegades, o $2[4](2[4]2)$. Això es pot després reduir a $2[4](2^2)=2[4]4=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65536.$

Etimologia

La paraula pentació (en anglès, «pentation») va ser encunyada per Reuben Goodstein en 1947 de les arrels penta- (cinc) i iteració. És part del seu esquema general per a nomenar les hiperoperacions.

Notació

No existeix un consens general per a la notació de la pentació; per tant hi ha diverses maneres d'escriure l'operació. No obstant això, unes s'usen més que altres i hi ha diferents avantatges entre una i altra forma d'ús.

• La pentació es pot escriure com una hiperoperació com $a[5]b$. En aquest format, $a[3]b$ pot ser interpretat com el resultat d'aplicar repetidament la funció $x\mapsto a[2]x$, per $b$ repeticions, començant amb el número 1. De forma anàloga, $a[4]b$, la tetració, representa el valor obtingut a l'aplicar repetidament la funció $x\mapsto a[3]x$, per $b$ repeticions, començant amb el número 1, i la pentació $a[5]b$ representa el valor obtingut a l'aplicar repetidament la funció $x\mapsto a[4]x$, per $b$ repeticions, començant amb el número 1. Aquesta serà la notació usada en la resta de l'article.
• En la notació de fletxa de Knuth, $a[5]b$ es representa com $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ o $a{\uparrow }^{3}b$. En aquesta notació, $a\uparrow b$ representa la funció de potenciació $a^b$ i $a\uparrow \uparrow b$ representa la tetració. L'operació pot adaptar fàcilment la hexació afegint una altra fletxa.
• En la notació de fletxes encadenades de Conway, $a[5]b=a\to b\to 3$
• Una altra notació proposta és ${}_{b}a$, encara que aquesta no és extensible a hiperoperacions de major ordre.

Exemples

Els valors de la funció de pentació també poden ser obtinguts dels valors en la quarta filera de valors en una variant de la funció d'Ackermann: si $A(n,m)$ es defineix com la recurrència d'Ackermann $A(m-1,A(m,n-1))$ amb les condicions inicials $A(1,n)=an$ i $A(m,1)=a$, llavors $a[5]b=A(4,b)$.

Com la tetració, la seva operació base, no ha estat estesa a exponents no-enters, la pentació $a[5]b$ actualment només està definida per a valors enters de a i b on $a>0$ i $b\ge -1$, i uns pocs valors enters addicionals que podrien estar únicament definits. Com totes les hiperoperacions d'ordre 3 i més grans, la pentació té els següents casos trivials (identitats) que són veritables per a tots els valors d' a i b en el seu domini:

• $1[5]b=1$
• $a[5]1=a$

Addicionalment, es pot definir:

• $a[5]0=1$
• $a[5](-1)=0$

A més dels casos trivials a dalt exposats, la pentació genera nombres extremadament grans molt ràpidament tal que només hi ha uns pocs casos no-trivials que produeixen nombres que poden ser escrits en notació convencional, com es mostra a continuació:

• $2[5]2=2[4]2=2^2=4$
• $2[5]3=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65,536$
• $2[5]4=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65536=2^{2^{2^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^2}}}}}\text{ (una torre d'exponents de 65.536 números d'altura) }\approx {\exp }_{10}^{65,533}(4.29508)$ (es mostra aquí en notació d'exponents iterats, ja que és massa gran per ser escrit en notació convencional. Cal notar que ${\exp }_{10}(n)=10^n$)
• $3[5]2=3[4]3=3^{3^3}=3^{27}=7,625,597,484,987$
• $3[5]3=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987=3^{3^{3^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^3}}}}}\text{ (una torre d'exponents de 7,625,597,484,987 números de altura) }\approx {\exp }_{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)$
• $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^4}}=4^{4^{256}}\approx {\exp }_{10}^3(2.19)$ (un nombre amb més de $10^{153}$ dígits)
• $5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^5}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx {\exp }_{10}^4(3.33928)$ (un nombre amb més de $10^{10^{2184}}$ dígits)

Extensió a números negatius o zero

Mitjançant l'ús del superlogaritme, $a{\uparrow }^{3}b$ es pot definir quan b és negatiu o zero per a un nombre limitat de valors de b. Per tant, per a tots els valors enters estrictament positius de a, la pentació negativa es defineix de la manera següent:

• $a{\uparrow }^{3}0={\mathrm{slog}}_{a}a=1$ si a > 1.
• $a{\uparrow }^3-1={\mathrm{slog}}_{a}1=0$ si a > 1.
• $a{\uparrow }^3-2={\mathrm{slog}}_{a}0=-1$ si a > 1.

Pel que fa als valors negatius de a, només $a=-1$ pot donar lloc a una extensió. En aquest cas, segons els valors de l'enter positiu b, els tres valors possibles que obtenim $-1{\uparrow }^{3}b$ són indicats de la següent manera:

• $-1{\uparrow }^{3}b={}^1-1=-1$ si b és congruent amb 1 mod 3.
• $-1{\uparrow }^{3}b={}^{-1}-1=0$ si b és congruent amb 2 mod 3.
• $-1{\uparrow }^{3}b={}^0-1=1$ si b és congruent amb 0 mod 3.

Vegeu també

• Nombres grans