Polinomis d'Appell generalitzats

En matemàtiques, una successió polinòmica $\{p_n(z)\}$ té una representació generalitzada d'Appell si la funció generadora per a polinomis adopta una forma determinada:

$K(z,w)=A(w)\mathrm{\Psi }(zg(w))=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_n(z)w^n$

on la funció generadora o kernel $K(z,w)$ es compon de les sèries

$A(w)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{w}^n$ amb $a_0\ne 0$

i

$\mathrm{\Psi }(t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Psi }}_n{t}^n$ i tot ${\mathrm{\Psi }}_n\ne 0$

i

$g(w)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{g}_n{w}^n$ amb $g_1\ne 0.$

Tenint en compte les qüestions anteriors, no és difícil demostrar que $p_n(z)$ és un polinomi de grau $n$.

Els polinomis de Boas-Buck són una classe de polinomis una mica més general.

Casos especials

• Si escollim $g(w)=w$ dona la classe de polinomis de Brenke.
• Si escollim $\mathrm{\Psi }(t)=e^t$dona lloc a la successió de polinomis de Sheffer, que inclouen els polinomis per diferències generals, com els polinomis de Newton.
• Si escollim la combinació de $g(w)=w$ i $\mathrm{\Psi }(t)=e^t$ dona la successió d'Appell de polinomis.

Representació explícita

Els polinomis d'Appell generalitzats tenen la representació explícita

$p_n(z)=\sum _{k=0}^n{z}^k{\mathrm{\Psi }}_k{h}_k.$

La constant és

$h_k=\sum _P{a}_{j_0}{g}_{j_1}{g}_{j_2}\cdots g_{j_k}$

on aquesta suma s'estén per totes les composicions de $n$ en $k+1$ parts; és a dir, la suma s'estén sobre tots $\{j\}$ de tal manera que

$j_0+j_1+\cdots +j_k=n.$

Per als polinomis d'Appell, aquesta esdevé la fórmula

$p_n(z)=\sum _{k=0}^n\frac{a_{n-k}{z}^k}{k!}.$

Relació de recursió

De manera equivalent, una condició necessària i suficient per a que el kernel $K(z,w)$ es pugui escriure com $A(w)\mathrm{\Psi }(zg(w))$ amb $g_1=1$ és que

$\frac{\partial K(z,w)}{\partial w}=c(w)K(z,w)+\frac{zb(w)}{w}\frac{\partial K(z,w)}{\partial z}$

on $b(w)$ i $c(w)$ té la sèrie de potències

$b(w)=\frac{w}{g(w)}\frac{d}{dw}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{w}^n$

i

$c(w)=\frac{1}{A(w)}\frac{d}{dw}A(w)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{w}^n.$

Substituint

$K(z,w)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_n(z)w^n$

dona immediatament la relació de recurrència

$z^{n+1}\frac{d}{dz}\left[\frac{p_n(z)}{z^n}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}{c}_{n-k-1}{p}_k(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}{b}_{n-k}\frac{d}{dz}{p}_k(z).$

Per al cas especial dels polinomis de Brenke, s'obté $g(w)=w$ i, per tant, tot això $b_n=0$, simplificant significativament la relació de recurrència.

Referències

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació

Vegeu també

• Polinomis q-diferència