Desigualtats de Clarkson

En matemàtiques, les desigualtats de Clarkson, que porten el nom de James A. Clarkson, són resultats de la teoria dels espais L^p. Donen límits per a les normes L^p de la suma i la diferència de dues funcions mesurables a L^p en termes de les normes L^p d'aquestes funcions individualment.

Declaració de les desigualtats

Fem que (X, Σ, μ) sigui un espai de mesura; fem que f, g: X → R siguin funcions mesurables en L^p. Llavors, per a 2 ≤ p < +∞,

${\Vert \frac{f+g}{2}\Vert }_{L^p}^p+{\Vert \frac{f-g}{2}\Vert }_{L^p}^p\le \frac{1}{2}(\Vert f{\Vert }_{L^p}^p+\Vert g{\Vert }_{L^p}^p).$

Per a 1 < p < 2,

${\Vert \frac{f+g}{2}\Vert }_{L^p}^q+{\Vert \frac{f-g}{2}\Vert }_{L^p}^q\le {(\frac{1}{2}\Vert f{\Vert }_{L^p}^p+\frac{1}{2}\Vert g{\Vert }_{L^p}^p)}^{\frac{q}{p}},$

on

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,$

per exemple, q = p ⁄ (p − 1).

El cas p ≥ 2 és una mica més fàcil de demostrar, ja que és una simple aplicació de la desigualtat triangular i la convexitat de

$x\mapsto x^p.$

Referències

• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació

Enllaços externs

• Plantilla:Ref-web