Espai de mesura

Un espai de mesura és un conjunt per al qual s'ha definit una σ-àlgebra de conjunts mesurables i una funció mesura concreta que assigna un valor real o mesura a cada element de la σ-àlgebra. Un exemple important d'espai de mesura és l'espai de probabilitat.

Un espai mesurable consisteix en els dos primers components sense una mesura específica.

Definició

Un espai de mesura és un triplet $(X,𝒜,\mu ),$ on

• $X$ és un conjunt
• $𝒜$ és una [[σ-àlgebra|Plantilla:Mvar-algebra]] en el conjunt $X$
• $\mu$ és una mesura en $(X,𝒜)$

En altres paraules, un espai de mesura consisteix en un espai mesurable $(X,𝒜)$ juntament amb una mesura definit en aquest espai.

Exemples

• La tripleta $(ℝ,ℬ,\lambda )$ on $ℝ$ és el conjunt dels nombres reals, $ℬ$ la σ-àlgebra boreliana i $\lambda$ la mesura de Lebesgue basada en la longitud dels intervals, constitueixen un espai de mesura.
• Un espai probabilístic és un cas particular d'espai de mesura, on el conjunt de referència té mesura 1, i els conjunts mesurables, anomenats esdeveniments, tenen una mesura o "mida" finita, donada per la seva probabilitat.

Classes importants d'espais de mesura

Les classes més importants d'espais de mesura són definides per les propietats de les seves mesures associades. Això inclou

• Els espais de probabilitat, espais de mesura on la mesura és una mesura de probabilitat
• Espais de mesura finita, on la mesura és una mesura finita
• Espais de mesura $\sigma$-finita, on la mesura és una mesura $\sigma$-finita

Una altra classe d'espais de mesura són els espais de mesura completa.