Equivalència lògica

En lògica i matemàtiques, enunciats $p$ i $q$ es diu que són lògicament equivalents si són demostrables entre si sota un conjunt d’axiomes, o tenen el mateix valor de veritat en tots els models. L'equivalència lògica de $p$ i $q$ de vegades s'expressa com $p\equiv q$, $p::q$, $\mathsf{\text{E}}pq$, o $p⟺q$, en funció de la notació que s'utilitzi. No obstant això, aquests símbols també s'utilitzen per a l'equivalència material, de manera que la interpretació adequada dependria del context. L'equivalència lògica és diferent de l'equivalència material, tot i que els dos conceptes estan intrínsecament relacionats.

Equivalències lògiques

En lògica, existeixen moltes equivalències lògiques comunes i sovint es llisten com a lleis o propietats. Les següents taules il·lustren algunes d’aquestes.

Equivalències lògiques generals

$p\wedge \mathrm{\top }\equiv p$ $p\vee \mathrm{\perp }\equiv p$	Lleis d’identitat
$p\vee \mathrm{\top }\equiv \mathrm{\top }$ $p\wedge \mathrm{\perp }\equiv \mathrm{\perp }$	Lleis de dominació
$p\vee p\equiv p$ $p\wedge p\equiv p$	Lleis idempotents o de tautologia
$\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }p)\equiv p$	Llei de doble negació
$p\vee q\equiv q\vee p$ $p\wedge q\equiv q\wedge p$	Lleis commutatives
$(p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)$ $(p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)$	Lleis associatius
$p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$ $p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$	Lleis distributives
$\mathrm{\neg }(p\wedge q)\equiv \mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q$ $\mathrm{\neg }(p\vee q)\equiv \mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q$	Lleis de De Morgan
$p\vee (p\wedge q)\equiv p$ $p\wedge (p\vee q)\equiv p$	Lleis d’absorció
$p\vee \mathrm{\neg }p\equiv \mathrm{\top }$ $p\wedge \mathrm{\neg }p\equiv \mathrm{\perp }$	Lleis de negació

Equivalències lògiques que impliquen enunciats condicionals

1. $p⟹q\equiv \mathrm{\neg }p\vee q$
2. $p⟹q\equiv \mathrm{\neg }q⟹\mathrm{\neg }p$
3. $p\vee q\equiv \mathrm{\neg }p⟹q$
4. $p\wedge q\equiv \mathrm{\neg }(p⟹\mathrm{\neg }q)$
5. $\mathrm{\neg }(p⟹q)\equiv p\wedge \mathrm{\neg }q$
6. $(p⟹q)\wedge (p⟹r)\equiv p⟹(q\wedge r)$
7. $(p⟹q)\vee (p⟹r)\equiv p⟹(q\vee r)$
8. $(p⟹r)\wedge (q⟹r)\equiv (p\vee q)⟹r$
9. $(p⟹r)\vee (q⟹r)\equiv (p\wedge q)⟹r$

Equivalències lògiques que impliquen bicondicionals

1. $p⟺q\equiv (p⟹q)\wedge (q⟹p)$
2. $p⟺q\equiv \mathrm{\neg }p⟺\mathrm{\neg }q$
3. $p⟺q\equiv (p\wedge q)\vee (\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q)$
4. $\mathrm{\neg }(p⟺q)\equiv p⟺\mathrm{\neg }q$

Exemples

En lògica

Les següents afirmacions són lògicament equivalents:

1. Si Lisa és a Dinamarca, llavors és a Europa (una declaració del formulari $d⟹e$).
2. Si Lisa no és a Europa, llavors no és a Dinamarca (una declaració del formulari $\mathrm{\neg }e⟹\mathrm{\neg }d$).

Sintàcticament, (1) i (2) són derivables entre si mitjançant les regles de contraposició i doble negació. Semànticament, (1) i (2) són certes exactament en els mateixos models (interpretacions, valoracions); és a dir, aquells en què Lisa és a Dinamarca és falsa o Lisa és a Europa és cert.

(Cal tenir en compte que en aquest exemple, se suposa la lògica clàssica. Algunes lògiques no clàssiques no consideren que (1) i (2) siguin lògicament equivalents.)

En matemàtiques

En matemàtiques, dos enunciats $p$ i $q$ Se sol dir que són lògicament equivalents, si es poden demostrar entre si donant un conjunt d’axiomes i pressupòsits. Per exemple, la declaració " $n$ és divisible per 6 "es pot considerar equivalent a l'enunciat" $n$ és divisible per 2 i 3 ", ja que es pot demostrar el primer a partir del segon (i viceversa) utilitzant alguns coneixements de la teoria bàsica de números.

Relació amb l'equivalència material

L'equivalència lògica és diferent de l'equivalència material. Fórmules $p$ i $q$ són lògicament equivalents si i només si l'enunciat de la seva equivalència material ($p⟺q$) és una tautologia.

L'equivalència material de $p$ i $q$ (sovint escrit com $p\leftrightarrow q$) és en si mateixa una altra afirmació en el mateix llenguatge objecte que $p$ i $q$. Aquesta afirmació expressa la idea "' $p$ si i només si $q$ '". En particular, el valor de veritat de $p\leftrightarrow q$ pot canviar d’un model a un altre.

D'altra banda, l'afirmació que dues fórmules són lògicament equivalents és una afirmació en metallenguatge, que expressa una relació entre dues afirmacions $p$ i $q$. Les afirmacions són lògicament equivalents si, en cada model, tenen el mateix valor de veritat.

Vegeu també

• Conseqüència
• Lògica combinacional
• Si i només si

Enllaços externs

• Combinational Logic & Systems Tutorial Guide by D. Belton, R. Bigwood.