Fórmula de Cauchy per a la integració repetida

Plantilla:Confusió La fórmula de Cauchy per a la integració repetida, que porta el nom d'Augustin Louis Cauchy, permet comprimir n primitives d'una funció en una única integral. Es generalitza notablement en l'anàlisi fraccionari.

Cas escalar

Sigui f una funció contínua sobre la recta real. Aleshores l'enèsima integral repetida de f amb el punt base a, $$f^{(-n)}(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}\cdots \underset{a}{\overset{{\sigma }_{n-1}}{\int }}f({\sigma }_n)\mathrm{d}{\sigma }_n\cdots \mathrm{d}{\sigma }_2\mathrm{d}{\sigma }_1,$$ ve donada per integració única $$f^{(-n)}(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t.$$

Prova

La demostració es dona per inducció. Com que f és contínua, el cas base es desprèn del teorema fonamental del càlcul: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{f}^{(-1)}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{(x-t{)}^0}{0!}f(t)\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=f(x);$$ on $$f^{(-1)}(a)=\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=0.$$

Ara, suposem que això és cert per a n, i ho demostrem per a n+1. En primer lloc, utilitzant la regla integral de Leibniz, tingueu en compte que $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n}f(t)\mathrm{d}t]=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t.$$

Aleshores, aplicant la hipòtesi d'inducció, $$\begin{array}{cc}{f}^{-(n+1)}(x)& =\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}\cdots \underset{a}{\overset{{\sigma }_n}{\int }}f({\sigma }_{n+1})\mathrm{d}{\sigma }_{n+1}\cdots \mathrm{d}{\sigma }_2\mathrm{d}{\sigma }_1\\ & =\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}{({\sigma }_1-t)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{d}{\sigma }_1\\ & =\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\sigma }_1}[\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}{({\sigma }_1-t)}^{n}f(t)\mathrm{d}t]\mathrm{d}{\sigma }_1\\ & =\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n}f(t)\mathrm{d}t.\end{array}$$

Això completa la prova.

Generalitzacions i aplicacions

La fórmula de Cauchy es generalitza a paràmetres no-enters per la integral de Riemann-Liouville, on $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ es substitueix per $\alpha \in ℂ,\mathrm{\Re }(\alpha )>0$, i el factorial es substitueix per la funció gamma. Les dues fórmules coincideixen quan $\alpha \in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$.

Tant la fórmula de Cauchy com la integral de Riemann-Liouville es generalitzen a una dimensió arbitrària pel potencial de Riesz.

En el càlcul fraccional, aquestes fórmules es poden utilitzar per construir una diferintegral, que permet diferenciar o integrar un nombre fraccionari de vegades. La diferenciació d'un nombre fraccionari de vegades es pot aconseguir mitjançant la integració fraccionària i després diferenciant el resultat.

Amb uns quants passos de transformació és possible trobar una fórmula per a la $\alpha$-èsima derivada.

També es poden trobar aplicacions en l'electroquímica, reologia i en la física (problema de la tautòcrona).

Referències

• Plantilla:Ref-web
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre