Teorema fonamental del càlcul

El teorema fonamental del càlcul integral consisteix en l'afirmació que la derivada i integral d'una funció matemàtica són operacions inverses. Això significa que tota funció contínua integrable verifica que la derivada de la seva integral és ella mateixa. Aquest teorema és central en la branca de les matemàtiques anomenada càlcul.

Una conseqüència directa d'aquest teorema, denominada ocasionalment segon teorema fonamental del càlcul, permet calcular la integral d'una funció utilitzant l'antiderivada de la funció que s'ha d'integrar.

Encara que els antics matemàtics grecs com Arquímedes ja disposaven de mètodes aproximats per al càlcul de volums, àrees i longituds corbes va ser gràcies a una idea originalment desenvolupada pel matemàtic anglès Isaac Barrow i les aportacions d'Isaac Newton i Gottfried Leibniz que aquest teorema va poder ser enunciat i demostrat.

Una conseqüència directa d'aquest teorema és la regla de Barrow, sovint denominada segon teorema del càlcul, i que permet calcular la integral d'una funció utilitzant la integral indefinida de la funció en ser integrada.

Història

Plantilla:AP El teorema fonamental del càlcul relaciona la diferenciació i la integració, mostrant que les dues operacions són essencialment l'inversa l'una de l'altra. Abans del descobriment d'aquest teorema, no es reconeixia que aquestes dues operacions estaven relacionades. Els matemàtics grecs antics sabien com calcular l'àrea a partir d'infinitesimals, una operació que avui en dia anomenaríem integració. De manera similar, els orígens de la diferenciació són diversos segles anteriors al teorema fonamental del càlcul; per exemple, en el segle XIV les nocions de continuïtat de funcions i de moviment van ser estudiades pels calculadors de Merton College i altres acadèmics. La rellevància històrica del teorema fonamental del càlcul no és l'habilitat de calcular aquestes operacions, sinó la presa de consciència que aquestes dues operacions que semblen diferents (càlcul d'àrees geomètriques i càlcul de gradients) estan de fet estretament relacionades.

El càlcul es va iniciar com a teoria unificada d'integració i diferenciació a partir de la conjectura i la demostració del teorma fonamental del càlcul. El primer enunciat i demostració d'una versió rudimentària del teorema fonamental, de caràcter marcadament geomètric, s'atribueix a James Gregory (1638–1675). Isaac Barrow (1630–1677) va demostrar una versió més generalitzada del teorema, mentre que el seu alumne Isaac Newton (1642–1727) va completar el desenvolupament de la teoria matemàtica en què s'emmarca. Gottfried Leibniz (1646–1716) va sistematitzar el coneixement en el càlcul de quantitats infinitesimals i va introduir la notació que s'utilitza avui en dia.

Els teoremes fonamentals del càlcul integral

Primer teorema fonamental

Demostració

Lema important:

Suposem que $f$ és integrable sobre $[a,b]$ i que:

$m\le f(x)\le M\mathrm{\forall }x\in [a,b]$

Llavors

$m(b-a)\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt\le M(b-a)$

Comença la demostració

Hipòtesi:

Sigui $c\in (a,b)$.

Sigui $f$ una funció integrable sobre l'interval $[a,b]$ i contínua a c.

Sigui $F$ una funció sobre $[a,b]$ definida així: $F(x)=\underset{\alpha }{\overset{x}{\int }}f(t)dt$ amb $\alpha \in [a,b]$

Tesi:

F'(c)=f(c)

Per definició tenim: $F^{\prime }(c)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{F(c+h)-F(c)}{h}$.

Suposem que h>0, llavors $F(c+h)-F(c)=\underset{c}{\overset{c+h}{\int }}f(t)dt$.

Definim $m_h$ i $M_h$ com:

$m_h=\inf \{f(x)|c\le x\le c+h\}$,

$M_h=\sup \{f(x)|c\le x\le c+h\}$

Aplicant el lema veiem que:

$m_h\cdot h\le \underset{c}{\overset{c+h}{\int }}f(t)dt\le M_h\cdot h$.

Aleshores,

$m_h\le \frac{F(c+h)-F(c)}{h}\le M_h$

Ara suposem que $h<0$, siguin:

${m^{*}}_h=\inf \{f(x)|c+h\le x\le c\}$,

${M^{*}}_h=\sup \{f(x)|c+h\le x\le c\}$.

Aplicant el lema veiem que:

${m^{*}}_h\cdot (-h)\le \underset{c+h}{\overset{c}{\int }}f(t)dt\le {M^{*}}_h\cdot (-h)$.

Com:

$F(c+h)-F(c)=\underset{c}{\overset{c+h}{\int }}f(t)dt=-\underset{c+h}{\overset{c}{\int }}f(t)dt$,

Llavors:

${m^{*}}_h\cdot h\ge F(c+h)-F(c)\ge {M^{*}}_h\cdot h$.

Donat que $h<0$, llavors tenim que:

${m^{*}}_h\le \frac{F(c+h)-F(c)}{h}\le {M^{*}}_h$.

I com $f$ és contínua a c tenim que:

$\underset{h\to 0}{\lim }{m}_h=\underset{h\to 0}{\lim }{M}_h=\underset{h\to 0}{\lim }{m^{*}}_h=\underset{h\to 0}{\lim }{M^{*}}_h=f(c)$,

i això porta a:

$F^{\prime }(c)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{F(c+h)-F(c)}{h}=f(c)$.

Exemples

$F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{2}dt\Rightarrow F^{\prime }(x)=x^2$

$H(x)=\underset{10}{\overset{\exp 3x}{\int }}\sin (t)dt\Rightarrow H^{\prime }(x)=\sin (e^{3x})e^{3x}3$

$G(x)=\underset{0}{\overset{x^2}{\int }}\arcsin (t)dt\Rightarrow G^{\prime }(x)=\arcsin (x^2)2x$

Segon teorema fonamental

Declaració

També se l'anomena Regla de Barrow, en honor d'Isaac Barrow.

Aquest teorema s'empra freqüentement per avaluar integrals definides.

Demostració

Hipòtesi:

Sigui $f$ una funció contínua a l'interval $[a,b]$

Sigui $g$ una funció diferenciable en l'interval $[a,b]$ tal que $g^{\prime }(x)=f(x)\mathrm{\forall }x\in [a,b]$

Tesi:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=g(b)-g(a)$

Demostració:

Sigui

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$.

Tenim pel primer teorema fonamental del càlcul que:

$F^{\prime }(x)=f(x)=g^{\prime }(x)\mathrm{\forall }x\in [a,b]$.

Per tant:

$\mathrm{\exists }c\in ℝ$ tal que $\mathrm{\forall }x\in [a,b],F(x)=g(x)+c$.

Observem que:

$0=F(a)=g(a)+c$

I d'aqui se segueix que $c=-g(a)$; per tant:

$F(x)=g(x)-g(a)$.

I en particular si $x=b$ tenim que:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt=F(b)=g(b)-g(a)$

Exemples

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (x)dx=\sin (\pi )-\sin (0)=0$

$\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{dx}{x}=\ln (e)-\ln (1)=1$

Exemples

Càlcul d'una integral en particular

Suposi's que s'ha de càlcular la integral següent:

$\underset{2}{\overset{5}{\int }}{x}^{2}dx.$

Aquí, $f(x)=x^2$ i es pot usar $F(x)=\frac{1}{3}{x}^3$ com a antiderivada. Per tant:

$\underset{2}{\overset{5}{\int }}{x}^{2}dx=F(5)-F(2)=\frac{5^3}{3}-\frac{2^3}{3}=\frac{125}{3}-\frac{8}{3}=\frac{117}{3}=39.$

Utilitzant la primera part

Suposi's que s'ha de calcular

$\frac{d}{dx}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{3}dt.$

Utilitzant la primera part del teorema amb $f(t)=t^3$ s'obté

$\frac{d}{dx}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{3}dt=f(x)=x^3.$

Això es pot comprovar també utilitzant la segona part del teorema. En particular, $F(t)=\frac{1}{4}{t}^4$ és l'antiderivada de $f(t)$, i per tant

$\frac{d}{dx}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{3}dt=\frac{d}{dx}F(x)-\frac{d}{dx}F(0)=\frac{d}{dx}\frac{x^4}{4}=x^3.$

Una integral per la qual corol·lari no és suficient

Suposi's que

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sin \left(\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x}\cos \left(\frac{1}{x}\right)& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}$

Llavors $f(x)$ no és contínua en el zero. A més, això no és només una qüestió de com es defineix $f$ en el zero, ja que el límit $x\to 0$ de $f(x)$ no existeix. Per tant, el corol·lari no es pot utilitzar per calcular

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx.$

Però consideri's la funció

$F(x)=\{\begin{array}{cc}x\sin \left(\frac{1}{x}\right)& x\ne 0\\ 0& x=0.\end{array}$

Noti's que $F(x)$ és contínua en l'interval $[0,1]$ (inclòs en el zero, mitjançant el teorema del sandvitx), i $F(x)$ és diferenciable en $(0,1)$ amb $F^{\prime }(x)=f(x).$ Per tant, la segona part del teorema aplica, i

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=F(1)-F(0)=\sin (1).$

Exemple teòric

Es pot utilitzar el teorema per demostrar que

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

Com que

$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx& =F(b)-F(a),\\ \underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx& =F(c)-F(a),\text{ i }\\ \underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx& =F(b)-F(c),\end{array}$

el resultat és una conseqüència de

$F(b)-F(a)=F(c)-F(a)+F(b)-F(c).$

Generalitzations

La funció Plantilla:Mvar no ha de ser contínua en tot l'interval. La Part I del teorema llavors es pot reescriure: sigui Plantilla:Mvar una funció Lebesgue-integrable en l'interval $[a,b]$ i Plantilla:Math és un nombre en $[a,b]$ tal que Plantilla:Mvar és contínua a Plantilla:Math, llavors

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$

és diferenciable per Plantilla:Math amb Plantilla:Math. Es pot relaxar les condicions en Plantilla:Mvar encara més i suposar que és integrable merament de forma local. En aquest cas, es pot concloure que la funció Plantilla:Mvar és diferenciable gairebé pertot i Plantilla:Math gairebé pertot. En la recta real aquesta afirmació és equivalent al teorema de diferenciació de Lebesgue. Aquests resultats segueixen sent vàlids per a la integral de Henstock-Kurzwe, que inclou la integral d'una classe més gran de funcions integrables.Plantilla:Sfnp

En dimensions superiors, el teorema de diferenciació de Lebesgue generalitza el teorema fonamental del càlcul afirmant que per gairebé totes les Plantilla:Mvar, el valor promig d'una funció Plantilla:Mvar en una bola de radi Plantilla:Mvar centrada a Plantilla:Mvar tendeix a Plantilla:Math a mesura Plantilla:Mvar tendeix a 0.

La Part II del teorema és vàlida per tota funció integrable de Lebesgue Plantilla:Mvar, que té una antiderivada Plantilla:Mvar (tot i que això no aplica a totes les funcions integrables). En altres paraules, si una funció real Plantilla:Mvar en $[a,b]$ admet una derivada Plantilla:Math pertot punt Plantilla:Mvar de $[a,b]$ i si aquesta derivada Plantilla:Mvar és integrable segons Lebesgue en $[a,b]$, llavors

$F(b)-F(a)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt.$

Aquest resultat pot no ser vàlid per funcions contínues Plantilla:Mvar que admeten una derivada Plantilla:Math gairebé pertot Plantilla:Mvar, com l'exemple de la funció de Cantor mostra. Tanmateix, si Plantilla:Mvar és absolutament contínua, admet una derivada Plantilla:Math gairebé pertot Plantilla:Mvar, i a més Plantilla:Mvar és integrable, amb Plantilla:Math igual a la integral de Plantilla:Mvar en $[a,b]$. En canvi, si Plantilla:Mvar és una funció integrable qualsevol, llavors Plantilla:Mvar definida com en la primera fórmula serà absolutament contínua amb Plantilla:Math gairebé pertot.

Les condicions d'aquest teorema es poden relaxar d'una altra manera considerant les integrals que hi surten com integrals de Henstock-Kurzwe. En particular, si una funció contínua Plantilla:Math admet una derivada Plantilla:Math pertot menys per un nombre numerable de punts, llavors Plantilla:Math és integrable en el sentit de Henstock–Kurzweil i Plantilla:Math és igual a l'integral de Plantilla:Mvar en Plantilla:Closed-closed. La diferència aquí és que no cal assumir la integrabilitat de Plantilla:Mvar.Plantilla:Sfnp

La versió del teorema de Taylor, que expressa el terme error com una integral, es pot veure com una generalització del teorema fonamental.

Hi ha una versió del teorema per funcions complexes: suposi's que Plantilla:Mvar és un conjunt obert en Plantilla:Math i Plantilla:Math és una funció que té una antiderivada holomorfa Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar. Llavors, per tota corba Plantilla:Math, la integral de camí es pot entendre com

$\underset{\gamma }{\int }f(z)dz=F(\gamma (b))-F(\gamma (a)).$

Es pot generalitzar el teorema fonamental a integrals corbes i de superfície en dimensions superiors i en varietats. Una d'aquestes generalitzacions l'ofereix el càlcul de superfícies en moviment i és l'evolució temporal de les integrals. Les extensions més familiars del teorema general del càlcul en dimensions superiors són el teorema de la divergència i el teorema del gradient.

Una de les generalitzacions més útils en aquesta direcció és el teorema de Stokes generalitzat (també conegut, de vegades, com el teorema fonamental del càlcul multivariable): Sigui Plantilla:Mvar una Varietat suau smooth a trossos de dimensió Plantilla:Mvar i sigui $\omega$ una [[forma diferencial|Plantilla:Math-form]] suau de suport compacte en Plantilla:Mvar. Si Plantilla:Math denota la frontera de Plantilla:Mvar donada la seva Orientabilitat induïda, llavors

$\underset{M}{\int }d\omega =\underset{\partial M}{\int }\omega .$

Aquí Plantilla:Math és la derivada exterior, que es defineix únicament per mitjà de l'estructura de la varietat.

El teorema s'utilitza sovint en situacions en què Plantilla:Mvar és una subvarietat orientada incrustada en una varietat més gran (per exemple, Plantilla:Math) en què es defineix la forma diferencial $\omega$.

El teorema fonamental del càlcul permet escriure una integral definida com a equació diferencial ordinària de primer ordre.

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

es pot escriure com

$\frac{dy}{dx}=f(x),y(a)=0$

amb $y(b)$ com el valor de la integral.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• Regla de Barrow
• Integració
• Regla de Leibniz
• Integral de Riemann

Bibliografia

• Plantilla:Citar ref.