Funció absolutament contínua

En matemàtiques es defineix la continuïtat absoluta d'una funció real de variable real com una propietat semblant, però més forta, a la continuïtat i a la variació afitada. Una funció absolutament contínua queda caracteritzada pel fet de ser una integral indefinida de Lebesgue. Aquesta noció és important en Teoria de la mesura i en Probabilitats.

Definició

Es diu que una funció $f:[a,b]⟶ℝ$ és absolutament contínuaPlantilla:Sfn si donat qualsevol $\epsilon >0$ existeix $\delta >0$ tal que per qualsevol família finita d'intervals oberts disjunts dos a dos $(a_1,b_1),\dots ,(a_n,b_n)\subset [a,b]$ tals que$$\sum _{i=1}^n(b_i-a_i)<\delta ,$$ es te que $$\sum _{i=1}^n|f(b_i)-f(a_i)|<\epsilon .$$Aquesta definició s'estén al cas d'una funció $f:ℝ⟶ℝ$ eliminant la condició que els diferents intervals oberts estiguin inclosos en l'interval $[a,b]$Plantilla:Sfn.

Propietats

Les següents propietats es troben demostrades a RoydenPlantilla:Sfn o NatensonPlantilla:Sfn

Propietats de continuïtat i derivabilitat

Sigui $f:[a,b]⟶ℝ$ absolutament contínua. Aleshores:

1. $f$ és contínua. Veurem als exemples que hi ha funcions contínues que no són absolutament contínues.

2.$f$ té variació afitada.

3.$f$ té derivada finita en quasi tots els punts (Lebesgue) i la derivada és integrable Lebesgue.

4.Si la derivada $f^{\prime }$ compleix que $f^{\prime }(x)=0,\text{quasi per tot }x\in [a,b]$, aleshores $f$ és constant.

Relació amb les integrals indefinides de Lebesgue

Recordem que donada una funció $g:[a,b]⟶ℝ$ integrable de Lebesgue, s'anomena integral indefinida (de Lebesgue)Plantilla:Sfn de $g$ a la funció $f:[a,b]⟶ℝ$ definida per $$f(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}g(t)dt.$$Aquesta funció $f$ ésPlantilla:Sfn contínua, de variació afitada i derivable en quasi tots els punts i $f^{\prime }(x)=g(x),\text{quasi per tot }x.$

El resultat fonamental sobre funcions absolutament contínues és que aquestes funcions coincideixen amb les integrals indefinides:

TeoremaPlantilla:Sfn. Una funció $f:[a,b]⟶ℝ$ és absolutament contínua si i només si és una integral indefinida; concretament, tenim

$$f(x)=f(a)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt.$$

Exemples

1. La funció de Cantor $F:[0,1]⟶[0,1]$ és contínua, amb derivada 0 en quasi tots els punts. No és absolutament contínua perquè contradiu la propietat 4 que hem vist anteriorment. Però, d'altra banda, també és clar que $F(x)\ne \underset{0}{\overset{x}{\int }}{F}^{\prime }(t)dt$, ja que aquesta integral és zero. Per tant, la funció de Cantor és contínua però no absolutament contínua.

2. NatansonPlantilla:Sfn demostra que la funció $$f(x)=\{\begin{array}{cc}x\cos \frac{\pi }{2x},& \text{si }0<x\le 1,\\ 0,& \text{si }x=0,\end{array}$$és contínua però no té variació afitada. Per tant, no pot ser absolutament contínua. És un altre exemple de funció contínua que no és absolutament contínua.

Referències

• Plantilla:Ref-llibre

• Plantilla:Ref-llibre

• Plantilla:Ref-llibre