Sèrie de Dirichlet

Una sèrie de Dirichlet (en honor al matemàtic alemany Gustav Dirichlet) és qualsevol sèrie infinita de la forma

$f(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}$

La sèrie de Dirichlet més famosa és la funció zeta de Riemann:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

També és una sèrie de Dirichlet, per exemple,:

$\frac{1}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}$

on μ(n) és la funció de Möbius, així com altres funcions relacionades amb la funció zeta.

Propietats

Les sèries de Dirichlet es poden sumar o multiplicar de la següent manera, i aquestes definicions purament algebraiques són consistents amb els valors assolits a la regió de convergència:

• Suma: $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b_n}{n^s}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n+b_n}{n^s}$
• Multiplicació: $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}\cdot \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b_n}{n^s}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\right(\sum _{d|n}^n{a}_d{b}_{n/d})/n^s)$

La multiplicació puntual descrita també s'anomena convolució de Dirichlet.

Sèrie formal de Dirichlet

Considerem un anell R, essent un cas especial l'anell dels nombres enters. Una sèrie formal de Dirichlet sobre R correspon a la suma formal:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}$

amb coeficients $a_n\in R$. La suma i multiplicació en aquest cas són definits purament formalment, sense qüestions de convergència, per les fórmules anteriors d'addició puntual i la convolució de Dirichlet. Les sèries formals de Dirichlet formen un anell algebraic.

Vegeu també

• Teorema de Wiener-Ikehara

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• G.H. Hardy; Marcel Riesz. The General Theory of Dirichlet's Series, 1915. Cambridge University Press.