Distribució de probabilitat envoltada

En la teoria de la probabilitat i l'estadística direccional, una distribució de probabilitat envoltada és una distribució de probabilitat contínua que descriu els punts de dades que es troben en una unitat n-esfera. En una dimensió, una distribució envoltada consta de punts del cercle unitari. Si $\varphi$ és una variació aleatòria en l'interval $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ amb funció de densitat de probabilitat (PDF) $p(\varphi )$, llavors $z=e^{i\varphi }$ és una variable circular distribuïda segons la distribució envoltada $p_{wz}(\theta )$ i $\theta =\arg (z)$ és una variable angular a l'interval $(-\pi ,\pi ]$ distribuït segons la distribució embolicada $p_w(\theta )$.

Qualsevol funció de densitat de probabilitat $p(\varphi )$ a la línia es pot "embolicar" al voltant de la circumferència d'un cercle de radi unitat. És a dir, el PDF de la variable embolicada

$\theta =\varphi mod2\pi$ en algun interval de longitud $2\pi$

és

$p_w(\theta )=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}p(\theta +2\pi k)$

que és una suma periòdica de períodes $2\pi$. L'interval preferit és generalment $(-\pi <\theta \le \pi )$ per quin $\ln (e^{i\theta })=\arg (e^{i\theta })=\theta$.

Teoria

En la majoria de les situacions, un procés que implica estadística circular produeix angles ($\varphi$) que es troben a l'interval $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, i es descriuen per una funció de densitat de probabilitat "desembolicada" $p(\varphi )$. Tanmateix, una mesura donarà un angle $\theta$ que es troba en algun interval de longitud $2\pi$ (per exemple, 0 a $2\pi$). En altres paraules, una mesura no pot dir si l'angle real $\varphi$ o un angle embolicat $\theta =\varphi +2\pi a$, on $a$ és un nombre enter desconegut, s'ha mesurat.

Si volem calcular el valor esperat d'alguna funció de l'angle mesurat serà:

$⟨f(\theta )⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}p(\varphi )f(\varphi +2\pi a)d\varphi$

Podem expressar la integral com una suma d'integrals en períodes de $2\pi$:

$⟨f(\theta )⟩=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\underset{2\pi k}{\overset{2\pi (k+1)}{\int }}p(\varphi )f(\varphi +2\pi a)d\varphi$

Canviar la variable d'integració a ${\theta }^{\prime }=\varphi -2\pi k$ i intercanviant l'ordre d'integració i suma, tenim

$⟨f(\theta )⟩=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{p}_w({\theta }^{\prime })f({\theta }^{\prime }+2\pi a^{\prime })d{\theta }^{\prime }$

on $p_w({\theta }^{\prime })$ és el PDF de la distribució embolicada i $a^{\prime }$ és un altre nombre enter desconegut $(a^{\prime }=a+k)$. El nombre enter desconegut $a^{\prime }$ introdueix una ambigüitat en el valor esperat de $f(\theta )$, similar al problema de calcular la mitjana angular. Això es pot resoldre introduint el paràmetre $z=e^{i\theta }$, ja que $z$ té una relació inequívoca amb l'angle real $\varphi$ :

$z=e^{i\theta }=e^{i\varphi }$

Exemple en termes de funcions característiques

Una distribució embolicada fonamental és la pinta de Dirac, que és una funció delta de Dirac embolicada:

${\mathrm{\Delta }}_{2\pi }(\theta )=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\theta +2\pi k)$

Utilitzant la funció delta, es pot escriure una distribució embolicada general

$p_w(\theta )=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}p({\theta }^{\prime })\delta (\theta -{\theta }^{\prime }+2\pi k)d{\theta }^{\prime }$