Lema d'Itô

En matemàtiques, el lema d'Itô o fórmula d'Itô (també anomenada fórmula Itô-Doeblin, especialment en la literatura francesa) és una identitat utilitzada en el càlcul d'Itô per trobar el diferencial d'una funció dependent del temps d'un procés estocàstic. Serveix com a contrapartida del càlcul estocàstic de la regla de la cadena. Es pot derivar heurísticament formant l'expansió de la sèrie de Taylor de la funció fins a les seves segones derivades i conservant termes fins al primer ordre en l'increment de temps i el segon ordre en l'increment del procés de Wiener. El lema s'utilitza àmpliament en finances matemàtiques, i la seva aplicació més coneguda és en la derivació de l'equació de Black-Scholes per als valors d'opcions.

Motivació

Suposem que tenim l'equació diferencial estocàstica $$d{X}_t={\mu }_{t}dt+{\sigma }_{t}d{B}_t,$$on Plantilla:Math és un procés de Wiener i les funcions ${\mu }_t,{\sigma }_t$ són funcions deterministes (no estocàstiques) del temps. En general, no és possible escriure una solució $X_t$ directament en termes de $B_t.$ Tanmateix, formalment podem escriure una solució integral

$$X_t=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\mu }_{s}ds+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\sigma }_{s}d{B}_s.$$Aquesta expressió ens permet llegir fàcilment la mitjana i la variància de $X_t$ (que no té moments superiors). En primer lloc, observeu que cada $\mathrm{d}{B}_t$ individualment té una mitjana 0, de manera que el valor d'expectativa de $X_t$ és simplement la integral de la funció de deriva:$$\mathrm{E}[X_t]=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\mu }_{s}ds.$$De la mateixa manera, perquè el $dB$ els termes tenen variància 1 i no hi ha correlació entre si, la variància de $X_t$ és simplement la integral de la variància de cada pas infinitesimal en la marxa aleatòria:

$$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[X_t]=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\sigma }_s^{2}ds.$$Tanmateix, de vegades ens trobem davant d'una equació diferencial estocàstica per a un procés més complex $Y_t,$ en què el procés apareix als dos costats de l'equació diferencial. És a dir, diguem$$d{Y}_t=a_1(Y_t,t)dt+a_2(Y_t,t)d{B}_t,$$per a algunes funcions $a_1$ i $a_2.$ En aquest cas, no podem escriure immediatament una solució formal com vam fer per al cas més senzill anterior. En canvi, esperem escriure el procés $Y_t$ en funció d'un procés més senzill $X_t$ prenent el formulari anterior. És a dir, volem identificar tres funcions $f(t,x),{\mu }_t,$ i ${\sigma }_t,$ de tal manera que $Y_t=f(t,X_t)$ i $d{X}_t={\mu }_{t}dt+{\sigma }_{t}d{B}_t.$ A la pràctica, s'utilitza el lema d'Ito per trobar aquesta transformació. Finalment, un cop hem transformat el problema en el tipus més simple de problema, podem determinar els moments mitjans i superiors del procés.