Identitat

Plantilla:Redirecció En matemàtiques, la paraula identitat té diversos significats importants:

• Una identitat és una igualtat que continua sent veritat sense importar el valor que prenguin les variables que hi surten, cal distingir-les de les igualtats les quals només són veritat en determinades condicions. Per això, de vegades es fa servir el símbol ≡. (Tot i que això pot ser ambigu perquè és el mateix símbol que es fa servir per a les relacions de congruència.)
• En àlgebra, la identitat o l’element identitat o neutre d'un conjunt S amb una operació és un element e que operat amb qualsevol element s de S produeix altre cop s.
• La funció identitat d'un conjunt S en si mateix, escrita sovint com $\mathrm{i}\mathrm{d}$ o ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_S$, és una funció tal que $\mathrm{i}\mathrm{d}(x)=x$ per a tot x de S.
• En àlgebra lineal, la matriu identitat és una matriu quadrada que té uns a la diagonal principal i zeros a qualsevol altre lloc.

De vegades les identitats s'indiquen amb el símbol Plantilla:Math enlloc de l'Plantilla:Math, el símbol d'igualtat.

Exemples

Relació d'identitat

Un exemple habitual del primer significat és la identitat trigonomètrica

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

La qual és veritat per a tots els valors reals de $\theta$ (atès que els nombres reals $ℝ$ són el domini de sin i cos).

En canvi en el cas de:

$\cos \theta =1,$

És veritat només per alguns valors de $\theta$, no tots. Per exemple, l'última equació és veritat quan $\theta =0,$, i falsa quan $\theta =2$

Element identitat

El nombre 0 és l’"element identitat de la suma" pels enters, els reals, i els complexos. Pels reals, per a tot $a\in ℝ,$

$0+a=a,$

$a+0=a,$ i

$0+0=0.$

De forma semblant, El nombre 1 és l"element identitat de la multiplicació" pels enters, els reals, i els complexos. Pels nombres reals, per a tot $a\in ℝ,$

$1\times a=a,$

$a\times 1=a,$ i

$1\times 1=1.$

Funció identitat

Un exemple típic d'una funció identitat és la permutació identitat, la qual envia a cada element del conjunt $\{1,2,\dots ,n\}$ cap a si mateix.

Comparació

Aquests significats no són mútuament excloents; per exemple, la permutació identitat és l'element identitat del conjunt de les permutacions de $\{1,2,\dots ,n\}$ per a l'operació de composició.

Vegeu també

• Teorema de multiplicació
• Identitat autosobirana