Polinomis per a sumes de potències de progressions aritmètiques

Plantilla:Expert Plantilla:Millorar introducció Són polinomi a funció d'una variable que, quan la variable coincideix amb el nombre de sumands, calculen la suma de potències amb bases en progressió aritmètica i exponent constant. El problema és per tant trobar polinomis tals que:

$S_n^p(h,d)=\sum _{k=0}^{n-1}(h+kd{)}^p=h^p+(h+d{)}^p+\cdots +(h+(n-1)d{)}^p,$

amb variable $n$ i paràmetres $p,h,d$ del plinomi $S_n^p(h,d)$; $n$ i $p$ enters no negatius, $h$ primer terme d'una progressió aritmètica i $d\ne 0$ diferència de la mateixa progressió, sent $h$ i $d$ qualsevol número real o complex $S_n^p(1,1)=\sum _{k=0}^{n-1}(1+k{)}^p=\sum _{k=1}^n{k}^p=1^p+2^p+\dots +n^p$ són els polinomis identificats per la fórmula de Faulhaber

$S_n^p(0,1)=\sum _{k=0}^{n-1}{k}^p=0^p+1^p+\dots +(n-1{)}^p$ son los polinomios diferenciándose de los anteriores sólo en el signo de un monomio de grado p;

$S_n^p(1,2)=\sum _{k=0}^{n-1}(1+2k{)}^p=1^p+3^p+\dots +(2n-1{)}^p$ son los polinomios por sumas de potencias de números impares sucesivos.

Mètode amb matrius

Per a qualsevol $m$ sencer positiu, el cas general es resol mitjançant la fórmula següent:

$\overrightarrow{S_n}(h,d)=T(h,d)A^{-1}\overrightarrow{N_n},$ on

$[\overrightarrow{S_n}(h,d){]}_r=S_n^{r-1}(h,d),[\overrightarrow{N_n}{]}_r=n^r,$

$[T(h,d){]}_{r,c}=\{\begin{array}{cc}0,& \text{es }c>r,\\ (\genfrac{}{}{0ex}{}{r-1}{c-1})h^{r-c}{d}^{c-1}& \text{es }c\le r.\end{array},[A{]}_{r,c}=\{\begin{array}{cc}0,& \text{es }c>r,\\ (\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{c-1}),& \text{es }c\le r,\end{array},$

on $1\le r\le m$ i $1\le c\le m$ on $r$ (fila), $c$ (columna) i $m$ (ordre de la matriu) són sencers.

Exemples

La fórmula en el caso particular  $m=5(p=0,1,...,m-1)$ se convierte en :  

$\left(\begin{array}{c}{S}_n^0(h,d)\\ S_n^1(h,d)\\ S_n^2(h,d)\\ S_n^3(h,d)\\ S_n^4(h,d)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ h& d& 0& 0& 0\\ h^2& 2hd& d^2& 0& 0\\ h^3& 3h^{2}d& 3h{d}^2& d^3& 0\\ h^4& 4h^{3}d& 6h^2{d}^2& 4h{d}^3& d^4\end{array}\right){\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 2& 0& 0& 0\\ 1& 3& 3& 0& 0\\ 1& 4& 6& 4& 0\\ 1& 5& 10& 10& 5\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}n\\ n^2\\ n^3\\ n^4\\ n^5\end{array}\right)$

I en el cas especial $m=5,h=1,d=2$, calcula la suma dels $n$ primers nombres imparells consecutius

Calculant la matriu T(h,d), els elements de la qual segueixen el teorema del binomi amb els valors assignats, és a dir, T(1,2), i trobant la matriu inversa de la matriu triangular inferior $A$ obtinguda a partir del Triangle de Tartaglia (matriu formada a partir del nombres de Bernoulli, mostrada en vermell), tenim :

$T(1,2)=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 2& 0& 0& 0\\ 1& 4& 4& 0& 0\\ 1& 6& 12& 8& 0\\ 1& 8& 24& 32& 16\end{array}\right),A^{-1}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0& 0& 0\\ \frac{1}{6}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{3}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{4}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{4}& 0\\ -\frac{1}{30}& 0& \frac{1}{3}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{5}\end{array}\right)$

multiplicant les files per les columnes de les dues matrius s'obté

$\left(\begin{array}{c}{S}_n^0(1,2)\\ S_n^1(1,2)\\ S_n^2(1,2)\\ S_n^3(1,2)\\ S_n^4(1,2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ -\frac{1}{3}& 0& \frac{4}{3}& 0& 0\\ 0& -1& 0& 2& 0\\ \frac{7}{15}& 0& -\frac{8}{3}& 0& \frac{16}{5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n\\ n^2\\ n^3\\ n^4\\ n^5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ n^2\\ -\frac{1}{3}n+\frac{4}{3}{n}^3\\ -n^2+2n^4\\ \frac{7}{15}n-\frac{8}{3}{n}^3+\frac{16}{5}{n}^5\end{array}\right).$

y per tant:

$S_n^0(1,2)=n,S_n^1(1,2)=n^2,S_n^2(1,2)=-\frac{1}{3}n+\frac{4}{3}{n}^3,S_n^3(1,2)=-n^2+2n^4,S_n^4(1,2)=\frac{7}{15}n-\frac{8}{3}{n}^3+\frac{16}{5}{n}^5.$. Finalment, si interessen les sumes dels tres primers sumands

$S_3^0(1,2)=3,S_3^1(1,2)=9,S_3^2(1,2)=35,S_3^3(1,2)=153,S_3^4(1,2)=707=1^4+3^4+5^4.$

Mètode amb polinomis de Bernoulli

La següent fórmula resol el problema de forma implícita utilitzant polinomis de Bernoulli: $S_n^p(h,d)=\frac{d^p}{p+1}(B_{p+1}(n+\frac{h}{d})-B_{p+1}(\frac{h}{d}))$

En particular:

$S_n^p(1,1)=\frac{B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(1)}{p+1}$

$S_n^p(0,1)=\frac{B_{p+1}(n)-B_{p+1}(0)}{p+1}$

$S_n^p(1,2)=2^p\frac{B_{p+1}(n+\frac{1}{2})-B_{p+1}(\frac{1}{2})}{p+1}$