Triangle de Tartaglia

Cada nombre del triangle és la suma de les dues xifres superiors.

El triangle de Tartaglia, també anomenat triangle de Pascal, és un esquema matemàtic utilitzat per a la potenciació de binomis.

Mètode de construcció

Es comença amb un 1.

 1

Després s'escriuen dos 1 a sota.

 1
 1 1

A les següents files, els nombres són el resultat de sumar els dos nombres immediatament superiors. Els nombres situats als laterals, són sempre 1.

 1
 1 1
 1 2 1
 1 3 3 1
 1 4 6 4 1
 1 5 10 10 5 1
 1 6 15 20 15 6 1
 1 7 21 35 35 21 7 1
 1 8 28 56 70 56 28 8 1
 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Propietats

El triangle de Tartaglia té diverses propietats interessants.

• En primer lloc, notem que el resultat de sumar els elements de cada fila dona una potència de 2: $1,2,4,8,16,32,64,\dots$. Aquest fet és conseqüència immediata del binomi de Newton, ja que:Plantilla:Sfn

$2^n=(1+1{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})1^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})1^{n-1}\cdot 1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})1^{n-2}\cdot 1^2+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})1\cdot 1^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})1^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})$

• En segon lloc, donat un binomi a+b elevat a n, pel binomi de Newton es dona la relació següent:

${(a+b)}^n=\sum _{k=0}^n{c}_i{a}^{n-k}{b}^k=(a+b{)}^n=$ $=c_0\cdot a^n+c_1\cdot a^{n-1}\cdot b+c_2\cdot a^{n-2}\cdot b^2+\dots +c_{n-2}\cdot a^2\cdot b^{n-2}+c_{n-1}\cdot a\cdot b^{n-1}+b^n$

El triangle de Tartaglia ens permet saber els valors que prenen els factors $c_0,c_1,c_2,...,c_n$. En el triangle, podem buscar el coeficient binomial $c_i=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})$ del desenvolupament de $(a+b{)}^n$ de la manera següent:

En el triangle busquem la filera n, començant des del 0. Notem que la filera té n+1 termes. Movent-nos en aquesta filera, el coeficient $c_i$ és el terme i-èsim de la filera.

Exemples:

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

$(a+b{)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$

$(a+b{)}^5=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5$

Triangle de Pascal amb una alçada de 512. Al pintar els nombres segons si són senars (blau) o parells (groc), apareix el triangle de Sierpinski.

• Les fileres de cada triangle no són simètriques, ja que: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k})$

• Si ens quedem tan sols amb els múltiples de dos, el triangle guarda una certa similitud amb el triangle de Sierpinski.

• Diagonals:
  • Les diagonals externes són sempre uns.Plantilla:Sfn
  • Els nombres de la sèrie de Fibonacci es troben al sumar els elements de les diagonals formades de pujar d'una fila a l'anterior una posició.
  • Una diagonal més interior dona els nombres naturals (1,2,3,4,5...).
  • La següent diagonal més interior (1,3,6,10...) són nombres triangulars, és a dir, nombres amb què es poden construir triangles. Si es suma cadascun d'aquests nombres amb l'anterior s'obtenen els nombres quadrats.
  • La quarta diagonal correspon als nombres tetraèdrics (s'hi poden construir tetràedres).Plantilla:Sfn
  • A la cinquena diagonal, hi ha els nombres pentatòpics, que representen el nombre d'elements dels pentatops.
• La conjectura de Singmaster postula que el nombre de vegades que apareix cada nombre major que 1 és finit. El nombre 3003 és l'únic que es coneix que apareix fins a vuit vegades al triangle.

Història

L'any 1303 matemàtics xinesos ja tenien coneixement d'aquesta matriu triangular. Blaise Pascal la va redescobrir uns segles després.Plantilla:Sfn

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• Francis Galton
• Quincunx
• Piràmide de Pascal