Successió (matemàtiques)

Gràfica d'una successió convergent.

En matemàtiques, una successió o seqüència és una llista ordenada d'objectes. Més formalment, s'anomena successió una aplicació definida en el conjunt dels nombres naturals, o un subconjunt seu, i que pren valors en un conjunt arbitrari. Si aquest altre conjunt és el dels nombres reals es diu que és una successió de nombres reals; si és un conjunt de funcions, es diu successió de funcions, etc.

Per exemple, una successió de nombres reals és una aplicació

$\begin{array}{cccc}a:& \mathbb{N}& \to & ℝ\end{array}$

A diferència de la notació habitual per a representar els valors d'una aplicació, on la variable s'acostuma a escriure entre parèntesis, $a(n)$, la variable d'una successió s'acostuma a representar com a subíndex: $a_n$. Així doncs, els valors de la successió a són

$\begin{array}{cc}& a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,...\end{array}$

L'element $a_n$ és el terme d'índex n de la successió a. També és habitual representar una successió $a$ amb la notació

$\begin{array}{cc}& (a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\end{array}$.

Pel que fa al conjunts d'índexs, de vegades és còmode que el primer terme de la successió tingui índex 1. En aquest cas, la successió seria $\begin{array}{c}{a}_1,a_2,a_3,a_4,...\end{array}$ i s'escriuria $\begin{array}{c}(a_n{)}_{n\ge 1}\end{array}$. Quan queda clar, pel context, quin és el conjunt d'índexs, simplement s'escriu $\begin{array}{c}(a_n).\end{array}$

Es pot definir una successió tant explícitament com implícitament. Alguns exemples de successions definides explícitament serien

$a_n=n^2,(a_n)=(0,1,4,9,16...)$

$a_n=1/n,n\ge 1,(a_n)=(1,1/2,1/3,1/4,1/5...)$

$a_n=(-1{)}^n,(a_n)=(1,-1,1,-1,1,-1\dots )$

$a_n=\cos (n\pi /2),(a_n)=(1,0,-1,0,1,0,-1...)$.

També moltes successions es defineixen de manera implícita usant una recurrència, per exemple:

Progressió geomètrica de raó $r$: $a_{n+1}=r{a}_n,a_0$ donat.

Successió de Fibonacci: $a_{n+1}=a_n+a_{n-1}$, $a_0=0,a_1=1$, $(a_n)=(0,1,1,2,3,5,8,13\dots )$.

La successió de la conjectura de Collatz: $a_{n+1}=\{\begin{array}{cc}n/2& \text{si }n\text{ parell}\\ 3n+1& \text{si }n\text{ senar}\end{array},a_0>0\text{ enter donat}.$

La successió dels nombres primers: $a_0=2$, i $a_{n+1}$és el menor nombre enter més gran que $a_n$que no és divisible per cap dels $a_0,a_1,\dots ,a_n$.

S'anomena subsuccessió o successió parcial d'una successió donada $(a_n)$ a una altra que s'obté de la primera eliminant alguns dels seus termes. Per exemple, la successió $(-1{)}^n$és una subsuccessió de la successió $\cos (n\pi /2)$, ambdues considerades més amunt.

Les successions tenen una gran importància en anàlisi matemàtica i en topologia, amb els conceptes de límit, de successió convergent i de successió de Cauchy, així com el de sèrie convergent.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• Progressió aritmètica
• Progressió geomètrica
• Successió recurrent lineal
• Successió de Farey
• Successió d'Ulam