Progressió geomètrica

Progressió geomètrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2

En matemàtiques una progressió geomètrica és una successió de nombres (anomenats termes) que compleix que el quocient entre qualsevol dos membres successius de la successió és una constant anomenada raó o factor de progressió de la successió.

Una successió geomètrica amb raó $r\ne 0$ i primer terme $a$ és

$a,ar,a{r}^2,a{r}^3,\dots$

Se sol denotar per $a_n$ al terme que ocupa la posició $n$ de la successió. Com que qualsevol terme es pot obtenir a partir de l'element anterior multiplicant-lo per la raó,

$a_{n+1}=a_n\cdot r$

Exemples

• La successió 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... té raó $r=2$ i primer terme $a_1=1$ .
• La successió 729, 486, 324, 216, 144, ... té raó $r=2/3$ i primer terme $a_1=729$ .
• La successió 3, -3, 3, -3, ... té raó $r=-1$ i primer terme $a_1=3$ .

Terme general

Es pot calcular qualsevol terme de la successió a partir del primer terme $a_1$ i de la raó $r$ mitjançant la següent fórmula anomenada terme general:

$a_n=a_1\cdot r^{n-1},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

Suma de termes consecutius d'una progressió geomètrica

La suma dels primers $n$ termes de la successió $a_n$ és

$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$

En el cas que $r=1$, aleshores $S_n=a_1\cdot n$. Si $r\ne 1$, aleshores

Per exemple, la suma dels 5 primers termes progressió alternada 2, 6, 18, ... (primer terme 2 i raó 3) és 242:

$S_n=2\cdot \frac{3^5-1}{3-1}=242$

Suma de tots els termes d'una progressió geomètrica

Si el valor absolut de la raó és menor que la unitat, $|r|<1$, aleshores la suma dels infinits termes de la progressió convergeix a un nombre finit:

$S_{\mathrm{\infty }}=\frac{a_1}{1-r}$

Per exemple, la suma de tots el termes de la progressió 1, 1/5, 1/25, ... és 5/4:

$S_{\mathrm{\infty }}=\frac{1}{1-1/5}=\frac{5}{4}$

Monotonia

Una progressió geomètrica és monòtona creixent quan cada terme és major o igual que l'anterior ($a_n\ge a_{n-1}$), monòtona decreixent quan cada terme és menor o igual que l'anterior ($a_n\le a_{n-1}$), constant quan tots els termes són iguals ($a_n=a_{n-1}$) i alternada quan cada terme té signe contrari que l'anterior (ocorre quan $r<0$).

Monotonia en funció del primer terme $a_1$ i de la raó $r$:

$a_1>0$	$r>1$	creixent
	$0<r<1$	decreixent
$a_1<0$	$r>1$	decreixent
	$0<r<1$	creixent
	$r=1$	constant
	$r<0$	alternada

Vegeu també

• Progressió aritmètica
• Sèrie geomètrica