Algorisme de Borwein

LPlantilla:'algorisme de Borwein és un algorisme desenvolupat per Jonathan i Peter Borwein que permet el càlcul d'1/π.

Es procedeix de la forma següent:

Es comença amb els valors

$a_0=6-4\sqrt{2}$

$y_0=\sqrt{2}-1$

Després s'itera amb les fórmules següents:

$y_{k+1}=\frac{1-(1-y_k^4{)}^{1/4}}{1+(1-y_k^4{)}^{1/4}}$

$a_{k+1}=a_k(1+y_{k+1}{)}^4-2^{2k+3}{y}_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^2)$

_k posseeix una convergència quártica 1/π; és a dir, en cada iteració es multiplica per quatre, aproximadament, el nombre de dígits correcte.

El grau de convergència s'obté de la següent desigualtat:

$|\frac{1}{\pi }-a_n|<=16(4^n)(e^{-2\pi 4^n})$