Amplada total a la meitat del màxim

Amplada total a la meitat del màxim

LPlantilla:'amplada total a la meitat del màxim, abreviada FWHM (de l'anglès Full Width at Half Maximum), és un paràmetre de les funcions o corbes que descriu l'amplada dels pics. El seu valor es correspon amb l'amplada d'una funció entre dos punts d'aquesta que tenen una alçada igual a la meitat de l'alçada màxima de la funció.

Matemàticament es poden expressar els valors de la variable independent en els quals l'alçada serà la meitat de l'alçada màxima ($x_0$):

$f(x_0)=\frac{f(x_{max})}{2}$

Per tant, els valors de l'amplada total a la meitat del màxim per un pic seran:

$\text{FWHM}=x_2-x_1$

On $x_2$ i $x_1$ són els valors trobats per $x_0$ a la dreta i l'esquerra del pic, respectivament.

Un exemple de càlcul de l'amplada total a la meitat del màxim és la funció gaussiana, que es defineix amb l'expressió:

$f(x)=a\exp [-\frac{(x-b{)}^2}{2c^2}]$

Per tant, aplicant la fórmula per trobar els valors $x_0$ de la variable independent, tenint en compte que la funció gaussiana assoleix l'alçada màxima quan $x=b$:

$a\exp [-\frac{(x_0-b{)}^2}{2c^2}]=\frac{a}{2}$

Aplicant identitats logarítmiques es pot expressar:

$\frac{(x_0-b{)}^2}{2c^2}=\ln (2)$

$x_0=b\pm c\sqrt{2\ln (2)}$

Per tant, l'amplada total a la meitat del màxim serà:

$\text{FWHM}=x_2-x_1=2c\sqrt{2\ln (2)}\approx 2.3548c$

L'amplada total a la meitat del màxim també té solució analítica per altres distribucions i funcions comunes com la distribució de Cauchy ($2\gamma =\mathrm{\Gamma }$).