Amplitud de dispersió

En física quàntica, lPlantilla:'amplitud de dispersió és l'amplitud de probabilitat de l'ona esfèrica sortint en relació amb l'ona plana entrant en un procés de dispersió en estat estacionari. A grans distàncies del centre de dispersió simètric central, l'ona plana es descriu per la funció d'ona

$\psi (𝐫)=e^{ikz}+f(\theta )\frac{e^{ikr}}{r},$

on $𝐫\equiv (x,y,z)$ és el vector de posició; $r\equiv |𝐫|$; $e^{ikz}$ és l'ona plana entrant amb el nombre d'ona Plantilla:Mvar al llarg de l'eix Plantilla:Mvar; $e^{ikr}/r$ és l'ona esfèrica sortint; Plantilla:Mvar és l'angle de dispersió (angle entre la direcció incident i dispersa); i $f(\theta )$ és l'amplitud de dispersió. La dimensió de l'amplitud de dispersió és la longitud. L'amplitud de dispersió és una amplitud de probabilitat; la secció transversal diferencial en funció de l'angle de dispersió es dóna com el seu mòdul al quadrat,

$d\sigma =|f(\theta ){|}^{2}d\mathrm{\Omega }.$

La forma asimptòtica de la funció d'ona en un camp extern arbitrari pren la forma Plantilla:R

$\psi =e^{ikr𝐧\cdot {𝐧}^{\prime }}+f(𝐧,{𝐧}^{\prime })\frac{e^{ikr}}{r}$

on $𝐧$ és la direcció de les partícules incidents i ${𝐧}^{\prime }$ és la direcció de les partícules disperses.

Condició unitària

Quan la conservació del nombre de partícules és certa durant la dispersió, condueix a una condició unitària per a l'amplitud de dispersió. En el cas general, tenim Plantilla:R

$f(𝐧,{𝐧}^{\prime })-f^{*}({𝐧}^{\prime },𝐧)=\frac{ik}{2\pi }\int f(𝐧,{𝐧}^{″})f^{*}(𝐧,{𝐧}^{″})d{\mathrm{\Omega }}^{″}$

El teorema òptic segueix a partir d'aquí mitjançant la configuració $𝐧={𝐧}^{\prime }.$

En el camp centralment simètric, la condició unitària esdevé

$\mathrm{I}\mathrm{m}f(\theta )=\frac{k}{4\pi }\int f(\gamma )f({\gamma }^{\prime })d{\mathrm{\Omega }}^{″}$

on $\gamma$ i ${\gamma }^{\prime }$ són els angles entre $𝐧$ i ${𝐧}^{\prime }$ i alguna direcció ${𝐧}^{″}$. Aquesta condició limita el formulari permès per $f(\theta )$, és a dir, la part real i imaginària de l'amplitud de dispersió no són independents en aquest cas. Per exemple, si $|f(\theta )|$ en $f=|f|e^{2i\alpha }$ es coneix (per exemple, a partir de la mesura de la secció transversal), doncs $\alpha (\theta )$ es pot determinar de tal manera que $f(\theta )$ es determina de manera única dins de l'alternativa $f(\theta )\to -f^{*}(\theta )$. Plantilla:R

Expansió parcial de l'ona

En l'expansió de les ones parcials, l'amplitud de dispersió es representa com una suma sobre les ones parcials,

$f=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)f_{\ell }{P}_{\ell }(\cos \theta )$

on Plantilla:Math és l'amplitud de dispersió parcial i Plantilla:Math són els polinomis de Legendre. L'amplitud parcial es pot expressar mitjançant l'element de matriu S d' ona parcial Plantilla:Math ( $=e^{2i{\delta }_{\ell }}$ ) i el canvi de fase de dispersió Plantilla:Math as

$f_{\ell }=\frac{S_{\ell }-1}{2ik}=\frac{e^{2i{\delta }_{\ell }}-1}{2ik}=\frac{e^{i{\delta }_{\ell }}\sin {\delta }_{\ell }}{k}=\frac{1}{k\cot {\delta }_{\ell }-ik}.$

Aleshores la secció transversal total

$\sigma =\int |f(\theta ){|}^{2}d\mathrm{\Omega }$

es pot ampliar com a Plantilla:R

$\sigma =\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_l,\text{where}{\sigma }_l=4\pi (2l+1)|f_l{|}^2=\frac{4\pi }{k^2}(2l+1){\sin }^2{\delta }_l$

és la secció transversal parcial. La secció transversal total també és igual a $\sigma =(4\pi /k)\mathrm{I}\mathrm{m}f(0)$ degut al teorema òptic.

Per $\theta \ne 0$, podem escriure Plantilla:R

$f=\frac{1}{2ik}\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)e^{2i{\delta }_l}{P}_{\ell }(\cos \theta ).$