Camp solenoidal

Un exemple de camp solenoidal: el camp $\overrightarrow{F}(x,y)=(y,-x)$.

En càlcul vectorial, un camp solenoidal és aquell pel qual tota integral sobre una superfície tancada és zero. És a dir, un camp vectorial $\overrightarrow{F}$ és solenoidal si, i només si,

$\underset{S}{\iint }\overrightarrow{F}d\overrightarrow{S}=0\mathrm{\forall }S\text{ tancada}$

Evidentment, una altra caracterització equivalent pels camps solenoidals és que un camp $\overrightarrow{F}$ és solenoidal si, i només si, per qualssevol superfícies $S$ i $T$ amb la mateixa vora es compleix

$\underset{S}{\iint }\overrightarrow{F}d\overrightarrow{S}=\underset{T}{\iint }\overrightarrow{F}d\overrightarrow{S}$

Si el domini del camp és un conjunt estrellat, aleshores un camp vectorial $\overrightarrow{F}$ és solenoidal si, i només si, la divergència del camp és zero:

$⟨\overrightarrow{\mathrm{\nabla }},\overrightarrow{F}⟩=0$

Aquesta condició se satisfà, independentment del domini del camp, si $\overrightarrow{F}$ és derivable d'un potencial vectorial $\overrightarrow{G}$. És a dir, si per algun camp vectorial $\overrightarrow{G}$ es té:

$\overrightarrow{F}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge \overrightarrow{G}$

Ja que llavors es compleix automàticament que:

$⟨\overrightarrow{\mathrm{\nabla }},\overrightarrow{F}⟩=⟨\overrightarrow{\mathrm{\nabla }},(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge \overrightarrow{G})⟩=0$

L'afirmació contrarecíproca també és certa gràcies a un teorema de Poincaré, si $\overrightarrow{F}$ és solenoidal en algun punt llavors localment el camp és expressable com el rotacional d'un camp vector.

Exemples de la física

• Una de les equacions de Maxwell implica que el camp magnètic B és solenoidal.
• El camp de velocitats d'un flux incompressible és solenoidal.
• Donada una barra o prisma mecànic sotmès a torsió el camp de tensions tangencials d'una secció transversal associades a la torsió és solenoidal, amb corbes integrals tancades.

Referències

• Plantilla:Citar ref