Camp vectorial hamiltonià

En matemàtiques i física, un camp vectorial hamiltonià en una varietat simplèctica és un camp vectorial definit per a qualsevol funció energètica o hamiltoniana. Anomenat segons el físic i matemàtic Sir William Rowan Hamilton, un camp vectorial hamiltonià és una manifestació geomètrica de les equacions de Hamilton en mecànica clàssica. Les corbes integrals d'un camp vectorial hamiltonià representen solucions de les equacions de moviment en la forma hamiltoniana. Els difeomorfismes d'una varietat simplèctica que sorgeixen del flux d'un camp vectorial hamiltonià es coneixen com a transformacions canòniques en física i simplectomorfismes (de Hamilton) en matemàtiques.

Els camps vectorials hamiltonians es poden definir de manera més general en una varietat de Poisson arbitrària. El parèntesi de Lie de dos camps vectorials hamiltonians corresponents a les funcions f i g de la varietat és en si mateix un camp vectorial hamiltonià, amb l'hammiltonià donat pel claudàtor de Poisson de f i g.

Definició

Suposem que Plantilla:Math és una varietat simplèctica. Com que la forma simplèctica Plantilla:Math no és degenerada, estableix un isomorfisme lineal de fibra.

$\omega :TM\to T^{*}M,$

entre el feix tangent Plantilla:Math i el feix cotangent Plantilla:Math, amb la inversa

$\mathrm{\Omega }:T^{*}M\to TM,\mathrm{\Omega }={\omega }^{-1}.$

Per tant, les formes una en una varietat simplèctica Plantilla:Math es poden identificar amb camps vectorials i cada funció diferenciable Plantilla:Math determina un camp vectorial únic Plantilla:Math, anomenat camp vectorial hamiltonià amb l'hammiltonià Plantilla:Math, definint per a cada camp vectorial Plantilla:Math a Plantilla:Math ,

$\mathrm{d}H(Y)=\omega (X_H,Y).$

Nota: Alguns autors defineixen el camp vectorial hamiltonià amb el signe oposat. Cal tenir en compte les diferents convencions de la literatura física i matemàtica.

Exemples

Suposem que Plantilla:Math és una varietat simplèctica Plantilla:Math dimensions. Aleshores, localment, es poden triar coordenades canòniques Plantilla:Math a Plantilla:Math, en les quals la forma simplèctica s'expressa com: $\omega =\sum _i\mathrm{d}{q}^i\wedge \mathrm{d}{p}_i,$

on Plantilla:Math denota la derivada exterior i Plantilla:Math indica el producte exterior. Aleshores el camp vectorial hamiltonià amb hamiltonià Plantilla:Math pren la forma: Plantilla:Sfn ${\mathrm{X}}_H=(\frac{\partial H}{\partial p_i},-\frac{\partial H}{\partial q^i})=\mathrm{\Omega }\mathrm{d}H,$

on Plantilla:Math és una matriu quadrada Plantilla:Math

$\mathrm{\Omega }=\left[\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right],$

i

$\mathrm{d}H=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial H}{\partial q^i}\\ \frac{\partial H}{\partial p_i}\end{array}\right].$

La matriu Plantilla:Math es denota sovint amb Plantilla:Math

Suposem que M = R²ⁿ és l'espai vectorial simlèctic de 2n dimensions amb coordenades canòniques (globals).

Propietats

• L'assignació f ↦ X_f és lineal, de manera que la suma de dues funcions hamiltonianes es transforma en la suma dels camps vectorials hamiltonians corresponents.
• Suposem que (q¹,..., qⁿ, p₁,..., p_n) són coordenades canòniques a M (vegeu més amunt). Aleshores, una corba γ(t) = (q(t),p(t)) és una corba integral del camp vectorial hamiltonià X_H si i només si és una solució de les equacions de Hamilton:

${\dot{p}}_i=-\frac{\partial H}{\partial q^i}.$

• L'hammiltonià Plantilla:Math és constant al llarg de les corbes integrals, perquè $⟨dH,\dot{\gamma }⟩=\omega (X_H(\gamma ),X_H(\gamma ))=0$. És a dir, Plantilla:Math és realment independent de Plantilla:Math. Aquesta propietat correspon a la conservació de l'energia en la mecànica hamiltoniana.
• De manera més general, si dues funcions Plantilla:Math i Plantilla:Math tenen un parèntesi de Poisson zero (vegeu més avall), aleshores Plantilla:Math és constant al llarg de les corbes integrals de Plantilla:Math, i de manera similar, Plantilla:Math és constant al llarg de les corbes integrals de Plantilla:Math. Aquest fet és el principi matemàtic abstracte darrere del teorema de Noether.
• La forma simplèctica Plantilla:Mvar es conserva pel flux hamiltonià. De manera equivalent, la derivada de Lie ${ℒ}_{X_H}\omega =0.$