Circumferència d'Apol·loni

La circumferència d'Apol·loni és el lloc geomètric dels punts la raó de distàncies dels quals a dos punts donats és constant. A la figura, per a tots els punts $P$ del cercle, la raó $\frac{A P}{B P} = k$ és constant i la circumferència és el cercle d'Apol·loni dels punts $A$ i $B$ i la raó $k$ .

Que el lloc geomètric dels punts, la raó de distàncies dels quals a dos punts donats és constant, és una circumferència es pot demostrar fàcilment: Siguin $A$ i $B$ els dos punts, $U$ i $V$ dos punts sobre la recta $A B$ que fan $\frac{A U}{B U} = \frac{A V}{B V} = k$ i $P$ un punt fora de la recta $A B$ que també fa $\frac{A P}{B P} = k$ . Ara considerem els segments $U P$ i $V P$ i els segments $A M$ i $A N$ que els són respectivament paral·lels. Segons el teorema de Tales,

$\frac{A U}{B U} = \frac{M P}{B P}, \frac{A V}{B V} = \frac{N P}{B P}$

cosa que, amb les hipòtesis inicials, implica

$k = \frac{A U}{B U} = \frac{A V}{B V} = \frac{M P}{B P} = \frac{N P}{B P} = \frac{A P}{B P}$

i, per tant, $M P = N P = A P$ i els triangles $A P N$ i $A P M$ són isòsceles. En conseqüència,

$\hat{A N P} = \hat{N A P}, \hat{A M P} = \hat{M A P}$

però

$\hat{A N P} = \hat{V P B}, \hat{N A P} = \hat{A P V}$

i

$\hat{A M P} = \hat{U P N}, \hat{M A P} = \hat{U P A}$

tot obtenint que

$\hat{V P B} = \hat{A P V}$ i $\hat{U P N} = \hat{U P A}$

En conseqüència, els segments $U P$ i $V P$ són perpendiculars i per tant, el punt $P$ és sobre el cercle de diàmetre $U V$ , que és el cercle d'Apol·loni del cas.

Bibliografia

Plantilla:Commonscat

Circumferència d'Apol·loni

Bibliografia

Menú de navegació

Cerca