Cis (matemàtiques)

Plantilla:Math is a mathematical notation defined by Plantilla:Math, where Plantilla:Math is the cosine function, Plantilla:Mvar is the imaginary unit and Plantilla:Math is the sine function. Plantilla:Mvar is the argument of the complex number (angle between line to point and x-axis in polar form). The notation is less commonly used in mathematics than Euler's formula, Plantilla:Nowrap which offers an even shorter notation for Plantilla:Nowrap but cis(x) is widely used as a name for this function in software libraries.

Visió general

La notació Plantilla:Math és una abreviatura de la combinació de funcions a la part dreta de la fórmula d'Euler :

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

on Plantilla:Math. Per tant,

$\mathrm{cis}x=\cos x+i\sin x,$

és a dir, " Plantilla:Math " és un acrònim de " Plantilla:Math ".

Connecta funcions trigonomètriques amb funcions exponencials en el pla complex mitjançant la fórmula d'Euler. Mentre que el domini de la definició sol ser $x\in ℝ$, valors complexos $z\in ℂ$ també són possibles:

$\mathrm{cis}z=\cos z+i\sin z,$

de manera que la funció Plantilla:Math es pot utilitzar per estendre la fórmula d'Euler a una versió complexa més general.

La funció s'utilitza principalment com a notació abreujada convenient per simplificar algunes expressions, per exemple en conjunció amb les transformades de Fourier i Hartley, o quan les funcions exponencials no haurien de s'utilitza per algun motiu en l'educació matemàtica.

En tecnologia de la informació, la funció veu suport dedicat a diverses biblioteques de matemàtiques d'alt rendiment (com ara la biblioteca de nucli matemàtic d'Intel (MKL) o MathCW), disponible per a molts compiladors i llenguatges de programació (incloent-hi C, C++, Common Lisp, D, Fortran, Haskell, Julia, i Rust) i sistemes operatius (inclosos Windows, Linux, macOS i HP-UX). Depenent de la plataforma, l'operació de fusió és aproximadament el doble de ràpida que cridar les funcions sinus i cosinus individualment.

Història

La notació Plantilla:Math va ser encunyada per primera vegada per William Rowan Hamilton a Elements of Quaternions (1866) i posteriorment utilitzada per Irving Stringham (que també l'anomenava " sector de Plantilla:Math ") en obres com Uniplanar Algebra (1893), James Harkness i Frank Morley a la seva Introducció a la teoria de les funcions analítiques (1898), o per George Ashley Campbell (que també s'hi referia com a "oscil·lació cisoïdal") a les seves obres. sobre línies de transmissió (1901) i integrals de Fourier (1928).

Motivació

La notació Plantilla:Math s'utilitza de vegades per emfatitzar un mètode de visualització i tractament d'un problema sobre un altre. Les matemàtiques de la trigonometria i les exponencials estan relacionades però no són exactament iguals; La notació exponencial emfatitza el tot, mentre que les notacions Plantilla:Math i Plantilla:Math subratllen les parts. Això pot ser retòricament útil per als matemàtics i els enginyers quan parlen d'aquesta funció i, a més, servir com a mnemotècnica (per Plantilla:Math).