Combinació afí

Combinació afí $tA+(1-t)B$ de dos punts $A,B\in 𝔸\mathbb{=}{ℝ}^{\mathrm{𝟚}}$ amb $t\in [-\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$. El conjunt de totes les combinacions afins (amb $t\in ℝ$) és la recta gris que uneix els dos punts: la varietat lineal més petita que conté $A$ i $B$. Fixant punts auxiliars $P\in 𝔸$ diferents s'obtenen les mateixes combinacions afins per a tot $t\in ℝ$.

En matemàtiques, donat un espai afí $(𝔸,V,\phi )$ sobre un cos $𝕂$, i un nombre finit de punts $p_1,...,p_n\in 𝔸$, una combinació afí de $p_1,...,p_n$ és un punt expressat amb una combinació lineal

$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\cdot p_i={\alpha }_1{p}_1+{\alpha }_2{p}_2+\cdots +{\alpha }_n{p}_n,$

amb ${\alpha }_1,...,{\alpha }_n\in 𝕂$ tals que

$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i=1.$

En general, les operacions producte per escalar i suma no estan definides al conjunt $𝔸$, de forma que, fixat un punt auxiliar $\overline{p}\in 𝔸,$ l'expressió anterior es defineix com

$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\cdot p_i=\overline{p}+\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\overrightarrow{(\overline{p}{p}_i})\in 𝔸$.

En aquesta expressió, les operacions suma i producte per escalar sí que estan definides, ja que s'apliquen a $\overrightarrow{\overline{p}{p}_i},$ elements d'un espai vectorial $V$.

L'expressió anterior està ben definida perquè és independient del punt auxiliar $\overline{p}\in 𝔸$ escollit. És a dir, fixat un altre punt auxiliar $p^{\prime }\in 𝔸$ arbitrari, la combinació afí obtinguda per l'anterior definició és la mateixa:

El concepte de combinació afí és fonamental en geometria euclidiana i geometria afí, perquè el conjunt de totes les combinacions afins d'un conjunt de punts formen la varietat lineal més petita que els conté. És a dir, si considerem el conjunt de punts $S:=\left\{p_1,...,p_m\right\}\subseteq 𝔸$ i denotem com $⟨S⟩$ el conjunt de combinacion afins de $S$, aleshores

Referències

• Plantilla:Citar ref Veure capítol 2.