Conjectura de Dittert

En combinatòria, la conjectura de Dittert, o conjectura de Dittert-Hajek, és una hipòtesi matemàtica relativa al màxim assolit per una determinada funció $\varphi$ de matrius amb entrades reals i no negatives que compleixin una condició sumatòria. La conjectura es deu a Eric Dittert i (independentment) a Bruce Hajek.

Sigui $A=[a_{ij}]$ una matriu quadrada d'ordre $n$ amb entrades no negatives i amb $\sum _{i=1}^n\left(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\right)=n$. Definim permanent com $\mathrm{per}(A)=\sum _{\sigma \in S_n}\prod _{i=1}^n{a}_{i,\sigma (i)}$, on la suma s'estén sobre tots els $\sigma$ elements del grup simètric.

La conjectura de Dittert afirma que la funció $\mathrm{\varphi }(A)$ definida per $\prod _{i=1}^n\left(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\right)+\prod _{j=1}^n\left(\sum _{i=1}^n{a}_{ij}\right)-\mathrm{per}(A)$ es maximitza (de manera única) quan $A=(1/n)J_n$, on $J_n$ es defineix com la matriu quadrada d'ordre $n$ amb totes les entrades iguals 1.