Conjectura de Fermat–Catalan

La conjectura de Fermat–Catalan en la teoria de nombres, combina idees del darrer teorema de Fermat i de la conjectura de Catalan, d'on prové el seu nom. La conjectura postula que l'equació

té un nombre finit de solucions (a,b,c,m,n,k); aquí a, b, c són nombres enters positius coprimers i m, n, k són enters positius que compleixen

A data de 2008, es coneixien les segúents solucions de Plantilla:Eqnref:

$1^m+2^3=3^2$

$2^5+7^2=3^4$

$13^2+7^3=2^9$

$2^7+17^3=71^2$

$3^5+11^4=122^2$

$33^8+1549034^2=15613^3$

$1414^3+2213459^2=65^7$

$9262^3+15312283^2=113^7$

$17^7+76271^3=21063928^2$

$43^8+96222^3=30042907^2$

La primera d'elles (1^m+2³=3²) és l'única solució on una de les variables a, b o c és 1; aquesta és la conjectura de Catalan, demostrada l'any 2002 per Preda Mihăilescu. Tècnicament, aquest cas produeix un nombre infinit de solucions de Plantilla:Eqnref (donat que es pot escollir qualsevol m per a m>6), perà als efectes de l'enunciat de la conjectura de Fermat-Catalan es comptabilitzaran totes aquestes solucions com una de sola.

Es coneix mitjançant el teorema de Faltings, que per a qualsevol elecció fixada d'enters positius m, n i k que compleixin Plantilla:Eqnref, existeix únicament un nombre finit de tuples de nombres enters coprimers (a, b, c) que resolen Plantilla:Eqnref.

La conjectura abc implica la conjectura de Fermat–Catalan.