Connectiva lògica

En lògica, les connectives lògiques són les eines que permeten construir enunciats o fórmules a partir dels àtoms. Les més conegudes són no, i, o i la construcció condicional si ...llavors.

Aquestes connectives es representen:

$\mathrm{\neg }$, no

$\wedge$, i

$\vee$, o (inclusiva)

$\to$, si...llavors

<imagemap> Image:Logical connectives table.svg|380px rect 399 2 542 39 input A rect 400 39 540 73 input B rect 400 128 542 706 output f(A,B) rect 3 128 398 163 X and ¬X rect 3 162 398 199 A and B rect 3 198 398 235 ¬A and B rect 4 234 399 273 B rect 2 308 397 344 A rect 2 379 397 415 A or B rect 3 525 396 560 ¬A or B rect 2 634 398 671 ¬A or ¬B rect 3 670 397 706 X or ¬X desc none </imagemap>		<imagemap> Image:Logical connectives Hasse diagram.svg|350px rect 326 28 416 200 X or ¬X rect 81 233 166 409 ¬A or ¬B rect 393 230 481 409 ¬A or B rect 574 232 663 408 A or B rect 279 440 368 616 A xor B rect 507 439 595 617 A rect 639 438 732 617 B rect 574 646 663 826 A and B rect 327 853 417 1035 X and ¬X desc none </imagemap>
Plantilla:Mida		Plantilla:Mida

Connectives

Les connectives són funcions de veritat. Vol dir que són funcions que prenen un o dos valors de veritat, i tornen un únic valor de veritat. En conseqüència, cada connectiva lògica pot ser definida mitjançant una taula de valors de veritat. A continuació hi ha una taula amb les connectives més usuals i la seva definició mitjançant taules de veritat:

Connectiva	Notació	Exemple d'ús	Anàleg natural	Exemple d'ús en el llenguatge natural	Taula de veritat
Negació	$\mathrm{\neg },\sim$	$\mathrm{\neg }p$	No	No està plovent.	$\begin{array}{cc}\varphi & \mathrm{\neg }\varphi \\ 1& 0\\ 0& 1\end{array}$
Conjunció	$\mathrm{\&},\mathrm{\&}$	$P\wedge q$	I	Està plovent i és de nit.	$\begin{array}{ccc}\varphi & \psi & \varphi \wedge \psi \\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}$
Disjunció	$\vee$	$P\vee q$	O	Està plovent o és de nit.	$\begin{array}{ccc}\varphi & \psi & \varphi \vee \psi \\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}$
Condicional material	$\to ,\supset$	$P\to q$	Si ... llavors	Si està plovent, llavors és de nit.	$\begin{array}{ccc}\varphi & \psi & \varphi \to \psi \\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}$
Si i només si	$\leftrightarrow ,\equiv$	$P\leftrightarrow q$	Si i només si	Està plovent si i només si és de nit.	$\begin{array}{ccc}\varphi & \psi & \varphi \leftrightarrow \psi \\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}$
Negació conjunta	$\Downarrow$	$P\downarrow q$	Ni ... ni	Ni està plovent ni és de nit.	$\begin{array}{ccc}\varphi & \psi & \varphi \downarrow \psi \\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}$
Disjunció excloent	$\nleftrightarrow ,\oplus ,\equiv ̸$	$P\nleftrightarrow q$	O bé ... o bé	O bé està plovent, o bé és de nit.	$\begin{array}{ccc}\varphi & \psi & \varphi \nleftrightarrow \psi \\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}$

Altres connectives

Atès que les connectives són funcions de veritat, hi haurà tantes connectives com a funcions de veritat. No obstant això, no totes les funcions de veritat tenen anàlegs en el llenguatge natural, i en conseqüència, no totes són estudiades amb el mateix interès. A continuació s'inclou una taula que llista totes les connectives binàries possibles.

$\begin{array}{cccccccccccccccccc}\varphi & \psi & \mathrm{\top }& \vee & \leftarrow & \varphi & \to & \psi & \leftrightarrow & \wedge & \uparrow & \nleftrightarrow & \mathrm{\neg }\psi & \nrightarrow & \mathrm{\neg }\varphi & \nleftarrow & \downarrow & \mathrm{\perp }\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 1& 1& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0\end{array}$

On:

• $\mathrm{\top }$ és una tautologia.
• $\vee$ és la disjunció.
• $\leftarrow$ és el condicional material invers.
• $\to$ és el condicional material.
• $\leftrightarrow$ és el Si i només si.
• $\mathrm{\&}$ és la conjunció.
• $\Uparrow$ és la negació alternativa, incompatibilitat, o "NAND".
• $\nleftrightarrow$ és la disjunció exclusiva, contravalència o "XOR".
• $\nrightarrow$ és la negació del condicional material.
• $\nleftarrow$ és la negació del condicional invers.
• $\Downarrow$ és la negació conjunta, o "NOR".
• $\mathrm{\perp }$ és una contradicció.

Vegeu també

• Lògica proposicional
• Condició matemàtica
• Porta lògica