Constant Omega

En matemàtiques, la constant Omega, anotada Ω, és una constant definida per:

$\mathrm{\Omega }{e}^{\mathrm{\Omega }}=1$

Aquí Ω és un cas particular de la funció W de Lambert. El nom de la constant prové del nom alternatiu de la funció W de Lambert, la funció omega. No l'hem de confondre amb la constant Omega de Chaitin, definida en la teoria algorítmica de la informació.

Definició

La constant prové de la funció W de Lambert, que rep aquest nom en honor del matemàtic alsacià Johann Heinrich Lambert. Té la forma següent:

$z=w{e}^w⟺w=W(z).$

$z$ és un nombre complex, expressat en notació polar de nombres complexos, i la funció ve definida per $W(z)=w$, complint-se, doncs, la igualtat

$z=W(z)e^{W(z)}.$

La constant omega és el cas particular de la funció W de Lambert quan $\mathrm{\Omega }=W_0(1)$. L'expressió resultant és la coneguda: $\mathrm{\Omega }{e}^{\mathrm{\Omega }}=1$

Propietats

Valor aproximat

El valor aproximat d'Ω és:

$\mathrm{\Omega }\approx 0,5671432904...$

Altres definicions

Les següents expressions també validen el valor d'Ω:

$e^{-\mathrm{\Omega }}=\mathrm{\Omega }$

$\ln \mathrm{\Omega }=-\mathrm{\Omega }.$

$\mathrm{\Omega }=\ln \left(\frac{1}{\mathrm{\Omega }}\right)$

Es pot calcular el valor d'Ω seguint un mètode iteratiu partint d'un Ω₀ i obtenint cada element de la seqüència executant:

${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=e^{-{\mathrm{\Omega }}_n}.$

La seqüència tendirà al valor d'Ω a mesura que n tendeixi a ∞. Això passa ja que Ω és un punt fix de la funció $e^{-x}$

S'obtindrà la constant de manera molt més eficient mitjançant la seqüència:

${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=\frac{1+{\mathrm{\Omega }}_n}{1+e^{{\mathrm{\Omega }}_n}},$

ja que la funció:

$f(x)=\frac{1+x}{1+e^x},$

té el mateix punt fix però té també la derivada igual a 0 en aquest punt fent que la convergència sigui quadràtica (el nombre nous dígits correctes és aproximadament duplicat per cada iteració.

Una identitat curiosa, atribuïda a Victor Adamchik, és la donada per la relació:

$\mathrm{\Omega }=\frac{1}{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{(e^t-t{)}^2+{\pi }^2}}-1.$

Integral que també es pot expressar de la següent manera:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{(e^x-x{)}^2+{\pi }^2}dx=\frac{1}{1+\mathrm{\Omega }}.$

Irracionalitat

La constant $\mathrm{\Omega }$ és un nombre irracional. Mitjançant la reducció a l'absurd es parteix de la base que el nombre $e$ és un nombre transcendent (demostrat per Charles Hermite el 1873).

Suposant que $\mathrm{\Omega }$ és un nombre racional, llavors existeixen $p$ i $q$ nombres naturals primers entre ells tals que:

$\mathrm{\Omega }=\frac{p}{q}$

llavors: $1=\frac{p{e}^{\frac{p}{q}}}{q}$

i finalment: $e=\sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}}$

fet que convertiria el nombre $e$ en un nombre algebraic d'ordre $p$, contradient la premissa que $e$ és un nombre transcendent (no algebraic).

Transcendència

A més de ser un nombre irracional, la constant Omega és també un nombre transcendent, segons es pot demostrar mitjançant el teorema de Lindemann-Weierstrass. Aquest teorema, juntament amb el de Gelfond-Schneider, constitueix la conjectura de Schanuel, i serveix per determinar si un nombre és transcendent o no. En particular, diu el següent:

Suposem $\alpha$, un nombre algebraic no nul, llavors {$\alpha$} és un conjunt linealment independent sobre els racionals. {$e^{\alpha }$} en serà un conjunt algebraicament independent, o en altres paraules, el nombre $e^{\alpha }$ serà transcendent.

Aplicat a la constant Omega, es suposa que $\mathrm{\Omega }$ és un nombre algebraic i es parteix de la identitat:

$\mathrm{\Omega }=e^{-\mathrm{\Omega }}$

Llavors, si $\mathrm{\Omega }$ és un nombre algebraic, $(-\mathrm{\Omega })$ també ho serà, i per tant, $e^{-\mathrm{\Omega }}$ serà, per força, un nombre transcendent, contradient la identitat inicial. Per tant, $\mathrm{\Omega }$ ha de ser per força un nombre transcendent, sent $e^{-\mathrm{\Omega }}$ també un nombre transcendent.

Enllaços externs

• Plantilla:MathWorld