Constant de Cahen

En matemàtiques, la constant de Cahen es defineix com una sèrie infinita de fraccions unitàries, amb signes alterns, derivades de la successió de Sylvester:

$C=\sum \frac{(-1{)}^i}{s_i-1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{42}+\frac{1}{1806}-\cdots \approx 0.64341054629.$

Si s'agrupen aquestes fraccions en parelles, es pot considerar la constant de Cahen com una sèrie de fraccions unitàries positives formades a partir dels termes en els llocs parells de la successió de Sylvester. Aquesta sèrie és un exemple d'algorisme voraç per a fraccions egípcies:

$C=\sum \frac{1}{s_{2i}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+\frac{1}{1807}+\frac{1}{10650056950807}+\cdots$

Aquesta constant rep el seu nom per Eugène Cahen (també conegut per la integral de Cahen-Mellin), que va ser el primer a formular i investigar la sèrie (Cahen 1891).

Se sap que la constant de Cahen és transcendent (Davison and Shallit 1991), i és un dels pocs nombres transcendents construïts de manera natural l'expansió en forma de fracció contínua de la qual es coneix íntegrament: si es forma la successió

1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ...

definida per la recurrència

$q_{n+2}=q_n^2{q}_{n+1}+q_n$

llavors l'expansió en forma de fracció contínua de la constant de Cahen és

$[0,1,q_0^2,q_1^2,q_2^2,\dots ]$

(Davison i Shallit 1991).

Referències

• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref

Enllaços externs

• Plantilla:Mathworld
• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref