Contacte entre funcions

Siguin

$f$

i

$g$

dues funcions, es diu que aquestes dues funcions tenen contacte d'ordre superiror a

$n$

en un punt,

$a$

, si la funció

$h(x)=f(x)-g(x)$

és un infinitèsim d'ordre superior a

$n$

quan

$x\to a$

. És a dir,

$f(x)-g(x)=o[(x-a{)}^n]$

o, de manera equivalent,

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-g(x)}{(x-a{)}^n}=0$

Siguin

$f$

i

$g$

dues funcions que tenen contacte d'ordre superior a

$n$

en el punt

$a$

, aleshores també direm que la funció

$g(x)$

és una aproximació d'ordre superor a

$n$

de la funció

$f(x)$

en el punt

$a$

.

Condicions necessàries i suficients pel contacte de dues funcions

Un teorema que ens dona una condició necessària i suficient per poder afirmar que dues funcions $f$ i $g$ tenen contacte d'ordre superior a $n$ és:

"Siguin

$f$

i

$g$

dues funcions

$n$

vegades derivables en el punt

$a$

, aquestes funcions tenen un contacte d'ordre superior a

$n$

en aquest punt si i només si

$f^{(k)}(a)=g^{(k)}(a)$

per qualsevol valor de

$0\le k\le n$

."

Exemples

Sigui

$f(x)$

una funció qualsevol i

$y(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

la recta tangent a aquesta funció en el punt

$a$

. Aleshores

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-y(x)}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-[f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)]}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)-f^{\prime }(a)=0$

i, per tant,

$y(x)$

és una aproximació d'ordre superior a 1 en el punt

$a$

.

Vegeu també

• Derivada
• Teorema de Taylor
• Aproximació lineal

Bibliografia

• Plantilla:Citar ref