Continuïtat uniforme

En anàlisi matemàtica una funció $f(x)$ es diu que és uniformement contínua si petits canvis en el valor de $x$ produeixen petits canvis en el valor de la funció (continuïtat) i la grandària dels canvis en $f(x)$ depèn únicament de la grandària dels canvis en $x$ però no del valor de $x$ (uniforme).

Definició

Donats dos espais mètrics $(X,d_X)$ i $(Y,d_Y)$, i $M\subseteq X$ llavors una funció $f:M\to Y$ es diu uniformement contínua en $M$ si per a qualsevol nombre real $\epsilon >0$ existeix $\delta >0$ tal que $d_X(x_1,x_2)<\delta$, implica que $d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon$ per a tot $x_1,x_2\in M$.

Una funció $f:ℝ\to ℝ$ és uniformement contínua en un interval $A$ si per a tot $\epsilon >0$ existeix algun $\delta >0$ tal que per a tot $x,y\in A$ es compleix que si $|x-y|<\delta$, llavors $|f(x)-f(y)|<\epsilon$.

A diferència de la continuïtat, on el valor de $\delta$ depèn del punt $x$, en les funcions uniformement contínues, no.${\displaystyle }$

Notem que el concepte de continuïtat uniforme fa referència sempre a un conjunt de punts. Que una funció sigui uniformement contínua en un conjunt o no depèn tant de la funció com del conjunt. La funció $f(x)=\ln x$ no és uniformement contínua a $(0,+\mathrm{\infty })$, però sí que ho és a $[1,10]$.

Exemples

• La funció $\frac{1}{x}$ amb $x>0$ és contínua però no uniformement contínua.
• La funció $x$ és uniformement contínua en l'interval [0,1].
• Tot polinomi $p:ℂ\to ℝ$ de grau major o igual que u és uniformement continu en un interval tancat.${\displaystyle }$

Resultats

• De la definició es dedueix que tota funció uniformement contínua és contínua. El contrari (tota funció contínua és uniformement contínua) no és cert.

Exemple: Si

$x\in {ℝ}^{+}$

i

$f(x)=\frac{1}{x}$

.

$f(x)$

és contínua i no és uniformement contínua. No obstant això, es verifica que:

"Si

$M$

és un espai mètric compacte i

$Y$

un espai mètric, llavors tota funció contínua

$f:M\to Y$

és uniformement contínua. En particular, tota funció contínua sobre un interval tancat i fitat és uniformement contínua en aquest interval." (Teorema de Heine-Cantor)

• Si $\{x_n\}$ és una successió de Cauchy continguda en el domini de $f$ (no necessàriament convergent) i $f$ és una funció uniformement contínua, llavors $\{f(x_n)\}$ també és una successió de Cauchy.
• Tota funció Lipschitz contínua és uniformement contínua.