Teorema de Heine-Cantor

Plantilla:Falten referències En matemàtiques, el teorema de Heine-Cantor, anomenat així per deure's a Eduard Heine i Georg Cantor, estableix que, si $f : M \to N$ és una funció contínua entre dos espais mètrics i $M$ és compacte, llavors $f$ és uniformement contínua.

Demostració

La continuïtat uniforme d'una funció s'expressa com:

\forall ε > 0, \exists δ > 0 \forall x, y \in M | (d_{M} (x, y) < δ \Rightarrow d_{N} (f (x), f (y)) < ε),

on $d_{M}$ i $d_{N}$ són les funcions distància als espais mètrics $M$ i $N$ , respectivament. Si ara assumim que $f$ és contínua a l'espai mètric compacte $M$ però no uniformement contínua, la negació de la continuïtat uniforme de $f$ s'escriu com:

\exists ε_{0} > 0 \forall δ > 0 \exists x, y \in M | (d_{M} (x, y) < δ \land d_{N} (f (x), f (y)) \geq ε_{0}) .

Triant $ε_{0}$ , per a tot $δ$ positiu tenim dos punts $x$ i $y$ de $M$ amb les propietats a dalt descrites.

Si triem $δ = \frac{1}{n}$ per a $n = 1, 2, 3, . . .$ obtenim dues successions ${x_{n}}$ i ${y_{n}}$ tals que compleixen

d_{M} (x_{n}, y_{n}) < \frac{1}{n} \land d_{N} (f (x_{n}), f (y_{n})) \geq ε_{0} .

Com que $M$ és compacte, el teorema de Bolzano-Weierstrass demostra l'existència de dues subsucesiones convergents ( $x_{n_{k}} \to x_{0}$ i $y_{n_{k}} \to y_{0}$ ). Aleshores

d_{M} (x_{n_{k}}, y_{n_{k}}) < \frac{1}{n_{k}} \land d_{N} (f (x_{n_{k}}), f (y_{n_{k}})) \geq ε_{0} .

Definim ara la successió

{| x_{n_{k}} - y_{n_{k}} |} = {d_{M} (x_{n_{k}}, y_{n_{k}})} \leq {\frac{1}{n_{k}}} \to 0

Com que la successió ${| x_{n_{k}} - y_{n_{k}} |}$ no té termes negatius no pot convergir cap a un nombre negatiu, però per altra banda ${| x_{n_{k}} - y_{n_{k}} |} \to l \leq 0 ⟹ l = 0$ Per tant

${x_{n_{k}} - y_{n_{k}}} \to 0 ⟹ {x_{n_{k}} - y_{n_{k}}} \to x_{0} - y_{0} = 0 ⟹ x_{0} = y_{0}$

Com que $f$ és contínua a $x_{0}$ , tenim que ${f (x_{n_{k}})} \to f (x_{0})$ i ${f (y_{n_{k}})} \to f (x_{0})$ , és a dir, ${f (x_{n_{k}}) - f (y_{n_{k}})} \to 0$ . Però això no pot ser, ja que $d_{N} (f (x_{n_{k}}), f (y_{n_{k}})) \geq ε_{0}$ .

La contradicció prova que la nostra suposició que $f$ no és uniformement contínua és absurda: llavors $f$ ha de ser uniformement contínua com afirma el teorema.

Enllaços externs

Teorema de Heine-Cantor

Demostració

Enllaços externs

Menú de navegació

Cerca